電場の向きは等ポテンシャル面に垂直である

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参考 ( 点電荷のポテンシャル )

点電荷 q の位置を r とする。

このとき、点電荷 q の静電ポテンシャルは、

証明

明らかに、点電荷から成る電場は球対称である。

つまり、点電荷から成る電場は点電荷から放射状の向きである。

つまり、E と t は同じ向きである。( むろん t は経路に接ベクトルである )

つまり、E・t=E ( 電場の強さ ) である。

よく知られているように、電場の強さは次のように表される。(※クーロンの法則)



ただし、s=|r−r|は点電荷からの距離である。

よって、

定義 ( 等ポテンシャル面 )

φ(r)を静電ポテンシャルとする。

φ(r)=一定 とおくと、この関係は3次元空間の曲面となる。

これを 『 等ポテンシャル面 』 という。

点電荷の場合、等ポテンシャル面は球面である。

実際、点電荷 q に対して φ(r)=一定は|r−r|=一定を意味する。(参考:点電荷のポテンシャル)

P* ( E=−∇φ )

電場は E(r)=−∇φ(r) と表される。

とくに、電場の向きは等ポテンシャル面に垂直である。

証明

2点 P、P’のポテンシャルを φ、φP’ とする。

いま、



ここで、P、P’を結ぶ経路として直線を選ぶ。

PP’間の距離 Δs は十分小であるとする。

すると、ここでは電場を一定と見なしてよい。

よって、



よって、



ここで、点 P’を点 P を通る等ポテンシャル面上にとる。

いま、φP’−φ=0 である。

よって、E・t=0 である。

むろん、t は等ポテンシャル面の接ベクトルである。

つまり、E は等ポテンシャル面に垂直である。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

一方、(*1)より、







( ただし、e=(1、0、0)、e=(0、1、0)、e=(0、0、1)である )

よって、

参考 ( 導体内部でE=0、導体表面でφ=一定、導体外部でE⊥S )

静電場に導体を置く。

このとき、次が成り立つ。

(1) 導体内部の電場は 0 である。

(2) 導体内部(と表面)でポテンシャルは一定である。

(3) 導体外部の電場は(導体の)面に垂直である。

(1)の証明

導体内に電場があると仮定する。

すると、その電場の向きに正電荷が移動する。

この移動によって生じる電場はもとの電場を打ち消す。

よって、最初から導体内に電場はないとしてよい。

(2)の証明

既に示したように、E=−∇φである。(※P1)

よって、(1)より、φは一定である。

(3)の証明

(2)より、導体表面は等ポテンシャル面である。

よって、導体外部の電場は表面に垂直である。(※P1)