周期関数の同一視×3

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定義 ( 周期関数〜その1 )

f: を関数とする。

T を実定数とする。

任意の点 t∈ に対し、f(t)=f(t+T)であるとする。

このとき、f を 『 周期 T の関数 』 という。

定義 ( 周期関数〜その2 )

f:[a、b]→ を関数とする。

b−a=T であるとする。

f(a)=f(b)であるとする。

このとき、f を 『 周期 T の関数 』 という。

定義 ( 単位円周上の関数 )

S={ x∈:|x|=1 } とおく。

( つまり、Sは単位円である )

f:S→ を関数とする。

これを 『 単位円周上の関数 』 という。

S1

次の関数(1)〜(3)は自然に同一視できる。

(1) 定義(周期関数〜その1)

(2) 定義(周期関数〜その2)

(3) 定義(単位円周上の関数)

補足

『 自然に 』 というのは 「 普通に 」 という意味で、特別な意味があるわけではない。

『 同一視 』 というのは 「 同じものとして見なすことができる 」 という意味である。

あるいは 「 置き換えても同じように議論できる 」 という意味である。

これらの言葉は数学でよく用いられる。

(1)⇔(2)の証明

f を(1)の意味での関数とする。

ここで、f の定義域を長さ T の閉区間に制限する。

いま、f は閉区間の両端で同じ値をとる。

よって、これは(2)の意味での関数である。

逆に、(2)から(1)が得られることも明らかであろう。

つまり、定義(〜その2)を T ずつ繰り返し延長することで、定義(〜その1)の意味での関数を得る。

(2)⇔(3)の証明

F を(3)の意味での関数とする。

単位円周上の任意の点は eiθ (θ∈)と表される。

( むろん、eiθ=cosθ+isinθである )

f: を f(θ)=F(eiθ)で定義する。

いま、任意のθ∈ に対して f(θ)=f(θ+2π)である。

よって、f は(2)の意味での関数である。(ただしT=2π)

逆に、(2)から(3)が得られることも明らかであろう。

参考

上の定理について(2)⇔(3)の証明では T=2π とした。

ただし、周期は自由に変更できる。

実際、証明中の eiθ を eiωθ ( ω=(2π)−1T ) に変更すればよい。

このとき、f(θ)=F(eiωθ)の周期は T である。

参考 ( 単位円周上の関数に対する積分可能性、連続性、微分可能性 )

F:S→ を単位円周上の関数とする。

いま、ある周期関数 f: が存在して、F(eiθ)=f(θ)と表せる。(※S1)

f は長さ2πの任意の閉区間上で積分可能であるとする。

このとき、「 F は S 上で積分可能である 」 という。

同様に、連続性、微分可能性についても定義できる。

つまり、F の背後に f を見出し、f の積分可能性を F の積分可能性として定義できる。

このような定義は数学でよく見られるものである。

参考

S1(1)〜(3)のどれを中心に議論するかは書物によって異なる。

しかし、これらは容易に置き換え可能であることが分かるであろう。