カルノーサイクル→永久機関の存在否定

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参考

永久機関の存在否定について解説する。

ただし、熱力学の基本事項は省略する。

P1 ( 熱力学第1法則 )

系が平衡状態 A から平衡状態 B に変化するとする。

系が吸収する熱量を Q とする。

系が外界に対して行う仕事を W とする。

このとき、Q−W の値は過程の経路に依存しない。

これを 『 熱力学第1法則 』 という。

証明

これは実験事実として採用するので証明は行わない。

定義 ( サイクル )

始状態と終状態が一致する過程を 『 サイクル 』 という。

P2

(T、V)→(T、V)をサイクルとする。

このとき、[Q−W]=0 である。

証明

(T、V)→(T、V)→(T、V)を1つの過程と見なす。

この過程を(T、V)→(T、V)とする。

このとき、[Q−W]=[Q−W]+[Q−W] である。

一方、→ と → は始状態と終状態を共有している。

よって、[Q−W]=[Q−W] である。(※熱力学第1法則)

よって、[Q−W]=0 である。

P3 ( ポアソンの関係式 )

理想気体を考える。

(P、T、V)→(P、T、V)を準静的断熱過程とする。

このとき、次が成り立つ。



ただし、γ=c/c である。

導出

省略する。

P4 ( 各過程における熱量と仕事 )

n mol の理想気体を考える。

Q を系が吸収する熱量とする。

W を系が外界に対して行う仕事とする。

このとき、以下が成り立つ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(P、V、T)→(P、V、T)を準静的定積過程とする。

( 定積過程であるから体積は変化していない )

このとき、次が成り立つ。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(P、V、T)→(P、V、T)を準静的定圧過程とする。

( 定圧過程であるから圧力は変化していない )

このとき、次が成り立つ。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(P、V、T)→(P、V、T)を準静的等温過程とする。

( 等温過程であるから温度は変化していない )

このとき、次が成り立つ。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(P、V、T)→(P、V、T)を準静的断熱過程とする。

このとき、次が成り立つ。



ただし、γ=c/c である。

導出

省略する。

定義 ( カルノーサイクル )

(T、V)→(T、V)を準静的等温過程とする。

(T、V)→(T、V)を準静的断熱過程とする。

(T、V)→(T、V)を準静的等温過程とする。

(T、V)→(T、V)を準静的断熱過程とする。

すると、下図のように、A→B→C→D→A の順に動くサイクルが得られる。



過程 A→B で高温熱源から系に流入する熱量を Q(>0)とする。

過程 C→D で系から低温熱源へ流出する熱量を Q(>0)とする。

このサイクルを 『 カルノーサイクル 』 という。

補足

なぜカルノーサイクルを考えるのだろうか?

例えば、下図のような四角サイクルを考えた方が扱いやすいのではないだろうか?



だが、このような四角いサイクルの場合、系の温度は 『 T → T → T → T 』 と絶え間なく変化してしまう。

これに対して、カルノーサイクルは 『 過程A → B 』 と 『 過程C → D 』 は等温変化である。

よって、温度は両端の断熱変化でのみ変化する。

つまり、カルノーサイクルでは2つの熱源 T 、T だけを考えればよい。

だから、むしろカルノーサイクルは扱いやすいのである。

定義 ( 熱機関 )

サイクルを 『 熱機関 』 と呼ぶこともある。

定義 ( 熱効率 )

W をサイクルが外界に対して行う仕事とする。

Q をサイクルが吸収する熱量とする。

熱機関の熱効率ηを次のように定義する。

すなわち、サイクルと熱機関はほぼ同じ意味である。

ただし、サイクルはVT平面上(あるいはPV平面上)の曲線を意味するのに対し、

熱機関はサイクルに対応した現実の装置を意味するニュアンスがある。

P5

カルノーサイクルの熱効率は次式で表される。

導出

カルノーサイクルが外界に対して行う仕事を W とする。

このとき、−W+Q−Q=0 である。(※P2)

P6



カルノーサイクルの作業物質を理想気体とする。さらに、次のようにおく。

過程A→Bにおいて、系が吸収する熱量 Q 、系が外部になす仕事を W とする。

過程B→Cにおいて、系が外部になす仕事 W とする。

過程C→Dにおいて、系が放出する熱量 Q 、系が外部になす仕事 W とする。

過程D→Aにおいて、系が外部になす仕事 W とする。

このとき、次が成り立つ。



また、次が成り立つ。

(1)〜(6)の導出

明らかである。(※P4)

(7)の解答

(1)、(4)より、



過程 B→C と 過程 D→A は断熱過程なので次が成り立つ。(※P3)



これらの式から、



よって、

P7

カルノーサイクルにおいて、作業物質を理想気体とする。

このとき、熱効率は次のように表される。

導出

明らかである。(※P5、P6)

参考

高温熱源 500K と低温熱源 300K の間でカルノー・サイクルを活動させたとする。

作業物質は理想気体であるとする。

このとき、カルノーサイクルの熱効率はη=1−(300/500)=0.4 である。

すなわち、熱効率は40%ということになる。

参考

既に上で述べたように、カルノーサイクルは2つの熱源しかもたない。

そこで、カルノーサイクルを下図のように表記することができる。

上図を見て分かるように、カルノーサイクルは高温熱源から仕事を取り出すときに、

その熱の一部を低温熱源に捨てなければいけない。

参考

カルノーサイクルの過程は全て準静的である。

よって、サイクルを逆向きに運転することもできる。

すなわち、A→D→C→B→A の順番で変化させることができる。

補足

つまり、熱機関に仕事を加えることで、低温熱源から高温熱源へ熱量を移動させることができるということだ。

これは冷房の原理と同じである。冷房では仕事の源として電気を利用している。

定義 ( クラウジウスの原理、ケルヴィンの原理 )

次のような主張を 『 クラウジウスの原理 』 という。

(*1) 他に何も変化を残さずに低温物体から高温物体へ熱を移すことは不可能である。

次のような主張を 『 ケルヴィンの原理 』 という。

(*2) 他に何も変化を残さずに一定温度の熱源から熱を取り出して、それを全て仕事に変換することは不可能である。

定義 ( 第2種永久熱機関 )

一定温度の熱源から熱を取り出して、それを全て仕事に変換する熱機関を 『 第2種永久熱機関 』 という。

この言葉を用いれば、ケルヴィンの主張は 「 第2種永久機関は存在しない 」 となる。

参考 ( もし第2種永久熱機関がするならば・・・ )

第2種永久熱機関は一定の熱源から仕事を取り出す熱機関(サイクル)を意味する。

すなわち、第2種永久熱機関は熱源として海、大地、大気を利用できるということである。

このような熱源は実質的に無限であるから、もし第2種永久熱機関が存在すればエネルギー問題は全て解決する。

例えば、海の熱を利用して運航する船が作成可能になる。

第2種永久熱機関は人類が長いこと追い求めてきた夢である。

第2種永久熱機関を作るためにありとあらゆる挑戦が行われてきたのである。

しかし、残念ながら、第2種永久熱機関は以下の議論で否定されてしまう。

P8

クラウジウスの原理は成り立つ。

証明

これは要請として採用するので証明は行わない。

参考

科学者がクラウジウスの原理を要請として認める理由は熱力学第1法則と同じである。

P9

(1) ケルヴィンの原理が成り立てばクラジウスの原理も成り立つ。

(2) クラジウスの原理が成り立てばケルヴィンの原理も成り立つ。

つまり、『 ケルヴィンの原理 』 と 『 クラジウスの原理 』 は同値である。

(1)の導出

問題の対偶をとると、

「 クラジウスの原理に反する熱機関が存在すると仮定した場合、これはケルヴィンの原理にも反する 」

・・・となる。

そこで、クラジウスの原理に反する熱機関 A が存在すると仮定する。

これは下図のように表される。



B を、高温熱源から熱 Q を受け取り、低温熱源に熱 Q を渡す過程で外部に仕事を行う熱機関とする。

( つまり、熱機関 B はクラジウスの原理に従う普通の熱機関である )

熱機関 A に並行させて、熱機関 B をつなぐ。



『 熱機関 A ・ 熱機関 B ・ 低温熱源 』 をまとめて、1つのサイクル 『 熱機関 C 』 として考える。



熱機関 C に注目すると、高温物体から熱 Q をもらい、また熱 Q を高温物体に返していることがわかる。

この部分をさらに単純化して次のように表記することができる。



上図によれば、熱機関 C はケルヴィンの原理に反している。

(2)の導出

問題の対偶をとると、

「 ケルヴィンの原理に反する熱機関が存在すると仮定した場合、これはクラジウスの原理にも反する 」

・・・となる。

そこで、ケルヴィンの原理に反する熱機関 A が存在すると仮定する。

これは下図のように表される。



B を 『 仕事を加えられることで低温物体から熱 Q を受け取り、高温物体に熱 Q を渡す熱機関 』 とする。

つまり、この熱機関 B はクラジウスの原理に従う、普通の熱機関である。



『 熱機関 A ・熱機関 B 』 を一つのサイクル 『 熱機関 C 』 として考える。



上図をよく見ると、熱機関 C は高温物体から熱 Q をもらい、熱 Q+Q を高温物体に返している。

この部分をさらに単純化して次のように表記することができる。



この熱機関 C はクラジウスの原理に反する。

P10

ケルヴィンの原理は成り立つ。

( すなわち、第2種永久機関は存在しない )

導出

明らかである。(※P8、P9)

補足

上で示したように、クラウジウスの原理とケルヴィンの原理は等価である。

よって、ケルヴィンの原理を要請として認めて、クラウジウスの原理を導いてもよい。

参考

クラウジウスの原理やケルヴィンの原理を 『 熱力学第2法則 』 と呼ぶこともある。

参考

ちなみに、

「 第2種永久機関があるなら、第1種もあるのだろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

第1種永久機関とは 『 熱や仕事などを一切加えないで仕事を作り出す機関 』 のことである。

しかし、これは明らかに熱力学第1法則に反する。

つまり、第1種永久機関は熱力学第1法則から直ちに否定される。

以上の内容をまとめると、

(1) 第1種永久機関は熱力学第1法則から否定される。

(2) 第2種永久機関は熱力学第2法則から否定される

・・・というわけである。

ただし、ここまでの議論から分かるように、永久機関の否定はほとんど熱力学第1、第2法則そのものである。

つまり、なにか根本的な理論から永久機関が否定されているのではない。

永久機関の否定とは、長い人間の歴史の経験則によるものである。

P11 ( カルノーの定理〜その1 )

2つの熱源の間で動作する可逆機関を考える。

このような可逆機関は可逆機関の種類に依存せず同じ熱効率をもつ。

しかも、可逆機関の熱効率はあらゆる熱機関の熱効率の上限となる。

カルノー定理によれば、同じ熱源を共有する可逆機関の熱効率は全て等しい。

しかも、可逆機関は理論的に最大の熱効率をもつ。

導出

A を可逆熱機関とする。

A’を一般の熱機関とする。

これら2つの熱機関を下図のようにつなぐ。



いま、A は可逆機関であるから、A を逆運転させることができる。

さらに、A を調整して Q=Q’が成り立つようにしておく。

( 可逆機関 A のサイズを変更すれば、熱量の絶対量を変更することができる )



このとき、熱機関 A の熱効率η、熱機関A’の熱効率η’は次のようになる。(※P5)



( ただし、ηを計算するときには逆運転する前の状態に注目する )

A と A’を1つの熱機関として見なすと、低温熱源に放出される熱量は相殺されて消える。



これはケルヴィンの原理に反している。

いま、ケルヴィンの原理を認めている。(※P10)

よって、熱機関 A+A’ が外界に対して行う仕事は正の値にならない。

よって、



よって、



よって、η’≦ηである。

すなわち、可逆機関の熱効率ηは一般の熱機関の熱効率の上限である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

とくに、A’が可逆機関である場合を考える。

このとき、同じ議論を繰り返すことにより、η≦η’である。

よって、η=η’である。

これは任意の可逆機関が同じ熱効率をもつことを意味する。

P12 ( カルノーの定理〜その2 )

2つの熱源の間で働く可逆機関の熱効率について次が成り立つ。



また、一般の熱機関が吸収する熱量を Q’、放出する熱量を Q’ とすると、

導出

明らかである。(※P11、P7)

補足

この結果は可逆機関の熱効率が熱源の温度のみによって決定されることを意味する。