エレンフェストの定理〜ハイゼンベルグ表示ver

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P1 ( シュレディンガ方程式の一般解 )

次のシュレディンガ方程式を考える。



このとき、解として次を採用できる。



とくに、E が離散的な値をとるとすると、一般解は、

補足

ただし、φは固有値問題 Hφ=Eφ の解である。

つまり、φは H の固有関数であり、E は H の固有値である。

(1)の証明

ψ(r、t)=T(t)φ(r) とおく。(変数分離法)

シュレディンガ方程式に代入すると、



式変形すると、



上式左辺は t のみに依存し、右辺は r のみに依存する。

また、t と r は独立変数である。

よって、上式が恒等的に成り立つためには、両辺は定数でなければならない。

そこで、その定数を E と表す。

つまり、



式変形すると、



(*1)の解は、



(*2)の解を φ(r) と表す。

以上により、シュレディンガ方程式の解として次を採用できる。

(2)の証明

(1)より、



重ね合わせの原理より、次式も解として採用できる。



ここで、重ね合わせの原理とは、微分方程式論としての重ね合わせの原理を意味する。

量子力学の重ね合わせの原理ではない。

定義 ( オペレータの和 )

(A+B)ψ=Aψ+Bψ と定義する。

このとき、A+B を 『 A と B の和 』 という。

定義 ( オペレータの積 )

ψ=A(Bψ) と定義する。

このとき、A を 『 A と B の積 』 という。

定義 ( エルミート共役 )

をオペレータとする。

ψA∧†=A∧*ψ と定義する。

このとき、A∧† を 『 A のエルミート共役 』 という。

つまり、A∧† は A の複素共役で、A の左側にあるψに作用する。

定義 ( エルミートオペレータ )

=A∧† であるとする。

このとき、A を 『 エルミートオペレータ 』 という。

P2 ( (A=B∧†∧†

任意のオペレータ A と B に対して (A=B∧†∧† である。

証明

次のように計算できる。(※定義:エルミート共役)

P3 ( 運動量オペレータとハミルトニアンはエルミートである )

(1) 運動量オペレータ p に対して p∧†=p が成り立つ。

(2) ハミルトニアン H に対して H∧†=H が成り立つ。

(1)の証明

ここでは limx→±∞ψ=0 と規約する。

いま、



つまり、任意の関数ψに対して、



よって、p=p∧† である。

(2)の証明

=p∧2/2m である。

よって、(1)より、H はエルミートである。

P4

エルミートオペレータの固有値は実数である。

補足

物理量としての固有値が実数であることは、それが観測可能であることを意味する。

証明

φ を A の固有関数とする。

つまり、Aφ=Aφ である。

いま、∫φφdr=A∫|φ|dr である。(★1)

また、∫φAφdr=∫(Aφ)φdr=∫φA∧*†φdr=∫φA∧*φdr=(∫(φφ)dr) である。

よって、∫φφdr は実数である。(★2)

(★1)、(★2)より、A は実数である。

定義 ( 交換子 )

[A、B]=A−B と定義する。

このとき、[A、B] を 『 A と B の交換子 』 という。

とくに、[A、B]≠0 であるとき、「 A と B は非可換である 」 という。

また、[A、B]=0 であるとき、「 A と B は可換である 」 という。

むろん、任意のオペレータは自身と可換である。

つまり、[A、A]=0 である。

よって、例えば、[V(r)、r]=0 である。

P5 ( 位置と運動量の交換関係 )

次が成り立つ。

補足

これはハイゼンベルグの不確定性関係の1つの表現である。

補足

は位置オペレータであり、xψ=xψ を意味する。

ただし、x を略記して x と表すこともある。

(1)の証明

次のように計算できる。



よって、

(2)の証明

明らかである。

P6

次が成り立つ。



とくに、V が|r|の関数であるとき、

補足

V’(|r|)は変数|r|に関する V の導関数を意味する。

補足

V(|r|) はポテンシャルが|r|を変数として表されることを意味する。

つまり、V(|r|)は、ポテンシャルが等方的であることを意味する。

(1)の証明

次のように計算できる。



よって、

(2)の証明

いま、



一方、(1)の証明と同様に、



よって、

定義 ( 時間発展オペレータ )

一般のオペレータ A に対し、次のように定義する。



とくに、次のオペレータを 『 時間発展オペレータ 』 という。

よく知られているように、複素指数関数 exp(z) は次のように展開される。(※テイラー展開)



今回の定義 exp(A) は、これと同じ形である。

P7

次が成り立つ。

証明

次のように計算できる。

P8 ( シュレディンガ方程式の解を時間発展オペレータで表す )

次のシュレディンガ方程式を考える。



このとき、解として次を採用できる。



とくに、E が離散的な値をとるとすると、一般解は、

補足

ただし、φは固有値問題 Hφ=Eφ の解である。

(1)の証明

次のように計算できる。



上式右辺が解であることは既に示した。(※P1)

(2)の証明

P1(2)と同様である。

P9 ( シュレディンガ表示とハイゼンベルグ表示 )

ψ(r、t) を量子状態とする。

〈A(t)〉 を、時刻 t における物理量 A の期待値とする。

このとき、

補足

(1)を 『 シュレディンガ表示 』 という。

(2)を 『 ハイゼンベルグ表示 』 という。

つまり、シュレディンガ表示は波動関数が時間変化する表示である。

一方、ハイゼンベルグ表示はオペレータが時間変化する表示である。

(1)の証明

これは要請として認める。(※確率解釈)

(2)の証明

次のように計算できる。(※P3)



よって、(1)より、次のように計算できる。(※P8)

P10 ( ハイゼンベルグの運動方程式 )

次が成り立つ。

補足

シュレディンガ表示の ψ(r、t) の時間変化を決定する方程式はシュレディンガ方程式である。

では、ハイゼンベルグ表示の A(t) を決定する方程式は何か?

それが今回の定理で得られる式である。

これを 『 ハイゼンベルグの運動方程式 』 という。

証明

次のように計算できる。(※P7)

参考 ( 保存量 )

A(t) が t に依存しないとき、A を 『 保存量 』 という。

また、次は同値である。

(1) A は保存量である。

(2) [H、A(t)]=0

(3) [H、A]=0

補足

つまり、H は保存量である。

これは量子力学においてエネルギー保存則が成り立つことを意味する。

力学 では、ポテンシャルで表せない力(摩擦力など)が作用することがある。

その場合、力学の世界では 「 エネルギー保存則が成り立たない 」 という。

一方、量子力学の場合、ハミルトニアンには最初からポテンシャルが含まれている。

よって、量子力学の場合、エネルギー保存則はつねに成り立つ。

(1)⇔(2)の証明

明らかである。(※P10)

(2)⇔(3)の証明

次の計算によって明らかである。

P11 ( エレンフェストの定理 )

次が成り立つ。

補足

r は位置ベクトルを意味する。

誤解がないように表すと、r である。

とくに、(1)の r は位置オペレータである。

補足

(1)は古典力学の dr/dt=v=p/m に相当する。

(2)は古典力学の dp/dt=F に相当する。

(1)の証明

いま、次のように計算できる。(※P5)



また、[V(r)、r]=0 である。(※ r は r 自信と可換 )

よって、次のように計算できる。(※P10:ハイゼンベルグの運動方程式)

(2)の証明

次のように計算できる。(※P10、P6)