ディラック流(連続的固有値問題の計算法、x表示、p表示、エレンフェスト方程式)

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) デルタ関数の性質

(2) 「x表示」と「p表示」のフーリエ変換の関係

(3) シュレディンガー流との整合性

(4) ディラック流シュレディンガー方程式

(5) エレンフェスト方程式(ディラック流による導出)

(6) 時間発展オペレータ

(7) 平行移動オペレータ

以下、オペレータ ( 例えば p など ) に付けるハット∧は省略する。

要請 ( 正準交換関係 )

位置オペレータ x や運動量オペレータ p に対して次が成り立つ。



これを 『 正準交換関係 』 という。

ただし、[A、B]=AB−BA と定義される。

これを 『 交換子 』 という。

正準交換関係は次を意味する。



実際、1次元の場合について計算すると、

定義 ( ディラックのデルタ )

ある関数δ(x)が存在して、次を満たすとする。



このとき、δ(x)を 『(ディラックの)デルタ関数 』 という。

とくに、f(x)=1とすると、

直観的に、デルタ関数は次のように解釈できる。



つまり、デルタ関数は x=0 で無限大を出力するパルス関数である。

これは 「 超関数 」 の1つであり、通常の関数ではない。

その詳細はフーリエ解析や超関数論などで議論されるが、ここでは気にしなくてよい。

P1 ( デルタ関数の性質 )

次が成り立つ。







(1)の証明

明らかである。(※定義:ディラックのデルタ)

(2)の証明

a>0 の場合、



a<0 の場合、

(3)の証明

次のように計算できる。(※部分積分)

(4)の証明

順フーリエ変換と逆フーリエ変換は次のように定義される。





(*1)に(*2)を代入すると、



上式は次を意味する。(※定義:ディラックのデルタ)

規約 ( ディラック流 )

離散的固有値問題の場合、計算では次の関係を用いた。



前者は 『 規格直交性(正規直交性)』 であり、後者は 『 完全性 』 である。

連続固有値問題の場合は次のように規約する。

むろん、上記の規約(ルール)が整合性をもつことを確認する必要がある。

以下、これを調べよう。

復習 ( エルミート共役 )

A をオペレータとする。

を 〈α|A|β〉=〈β|A|α〉 で定義する。

このとき、Aを 『 Aのエルミート共役 』 という。

とくに、A=A を満たすオペレータ A を 『 エルミート演算子 』 という。

定義 ( x表示、p表示 )

x|x’〉=x’|x’〉を位置固有方程式とする。( つまり x は位置オペレータである )

p|p’〉=p’|p’〉を運動量固有方程式とする。( つまり p は運動量オペレータである )

|α〉を系の任意の状態とする。

このとき、〈x|α〉を 『 x表示 』 といい、〈p|α〉を 『 p表示 』 という。

〈x|α〉はシュレディンガー流の波動関数に相当する。

このことは確率解釈に注目すれば分かる。

よく知られているように、シュレディンガー流の確率解釈は、



一方、ディラック流の x 表示は次のように計算できる。(※規約:ディラック流)



このように、ディラック流の x 表示〈x|α〉はシュレディンガー流の波動関数に相当する。

このことを強調したい場合には φα=〈x|α〉 と表す。

むろん、



また、シュレディンガー流では物理量 A の期待値は次のように表される。



一方、ディラック流では、

P2 ( 運動量オペレータの固有関数 )

規格化された 〈x|p〉 は次のように表される。

証明

p|p’〉=p’|p’〉 を固有方程式とする。

このような|p’〉に相当する波動関数は次のように表される。(※正準交換関係)



次のように計算できる。(※P1(4))



よって、

P3 ( p表示はx表示の順フーリエ変換である )

φα(x)=〈x|α〉を x 表示とする。

φα(p)=〈p|α〉を p 表示とする。

このとき、



補足

つまり、「 p表示 」 は 「 x表示 」 の順フーリエ変換である。

また、「 x表示 」 は 「 p表示 」 の逆フーリエ変換である。

補足

つまり、「 p表示 」 は 「 x表示 」 をexp(−ikx)で重み付けして p に関して積分したものである。

(1)の証明

次のように計算できる。(※P2)

(2)の証明

次のように計算できる。(※P2)

P4 ( 運動量オペレータのn乗 )

運動量オペレータ p に対して次が成り立つ。

補足

例えば、次のように計算できる。(※確率解釈)



上式右辺はシュレディンガー流と同じである。

証明

次のように計算できる。(※P2または正準交換関係)



よって、



よって、

P5 ( ディラック流シュレディンガー方程式 )

ディラック流シュレディンガー方程式は次のように表される。



実際、上式に左から 〈x|をかけるとシュレディンガー流に一致する。

補足

ただし、|α;t〉はケットの時間依存を表している。

証明(ただし証明というよりは書き換えである)

次のように計算できる。(※P4)



ψα(x、t)=〈x|α;t〉とおくと、

補足

次のようにおいてみよう。



すると、ディラック流シュレディンガー方程式は H|α〉=E|α〉となる。

これを解くと定常状態が求められる。

逆に、定常状態|n〉やエネルギー E が求められたとする。

その場合、一般解は、

P6 ( エレンフェスト方程式 )

次が成り立つ。

補足

この主張はシュレディンガー流で知られている。

今回はこれをディラック流の手法で導く。

(1)の証明

一般に、[X、YZ]=[X、Y]Z+Y[X、Z] である。

よって、次のように計算できる。(※要請:正準交換関係)



よって、次のように計算できる。(※確率解釈、P5:ディラック流シュレディンガー方程式)

(2)の証明

f(x)を任意の関数とする。

f(x)= と展開する。

いま、[p、f(x)]=[p、]=[p、x]である。

また、



よって、



よって、



よって、(1)と同様に、

P7 ( 時間発展オペレータ )

ハミルトニアン H が時間に依存しないとする。

|α;t=0〉を|α〉と表す。

このとき、任意の時刻 t に対して次のように表せる。

補足

上式右辺の|α〉に作用している演算子を 『 時間発展オペレータ 』 という。

証明

いま、次のように計算できる。



つまり、|α;t〉はシュレディンガー方程式を満たしている。

また、時刻 t=0 のときに|α;t=0〉=exp(0)|α〉=|α〉である。

参考 ( 平行移動オペレータ )

次のオペレータを考える。( ただし a は実数である )



このようなオペレータは|x’〉を|x’+a〉に変換する。

証明

今回はオペレータにハット∧を付けて表示する。

いま、次が成り立つ。(※P6(2)の証明と同様)



つまり、任意の関数 f(x)= に対して次が成り立つ。



よって、



よって、



これは A|x’〉が|x’+a〉であることを意味する。