エレンフェストの定理〜シュレディンガ表示ver

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規約 ( 無限遠の境界条件 )

ψ(x、t) を粒子の量子状態とする。

いま、次が成り立つ。(※確率解釈)



よって、有限な範囲を除いて|ψ(x、t)|=0 である。

そこで、次の条件を規約することは自然である。

ただし、この規約は運動量オペレータの固有状態を考えるときに矛盾が出る。

その場合、自由電子系などでは周期的境界条件を規約することで問題を回避する。

P1 ( 運動量の期待値 )

次が成り立つ。

補足

〈x〉 は位置 x の期待値であり、〈p〉 は運動量 p の期待値である。

これらは次のように表される。(※確率解釈)



証明

シュレディンガ方程式は、



複素共役は、



一方、



よって、



また、規約(無限遠の境界条件)より、



(*1)〜(*4)より、

P2 ( エレンフェストの定理〜シュレディンガ表示 )

次が成り立つ。

補足

これは力学の運動方程式に相当する式である。

実際、〈F〉=〈−dV/dx〉 とおくと、

証明

いま、次が成り立つ。(※確率解釈)



シュレディンガ方程式は、



複素共役は、



一方、規約(無限遠の境界条件)より、



また、



(*1)〜(*4)より、次のように計算できる。(※P1)