エルミート微分方程式、エルミート多項式

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定義 ( 級数解 )

微分方程式の解で、巾級数で表されるものを 『 級数解 』 という。

定義 ( 正則点 )

y’’(x)+P(x)y’(x)+Q(x)y(x)=0 を微分方程式とする。(★)

P と Q は x=a まわりでテイラー展開可能であるとする。

このとき、a を 『 (★)の正則点 』 という。

とくに、(★)が定数係数ならば、任意の点 x=a は正則点である。

参考 ( 級数解の解空間 )

y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 を微分方程式とする。(★)

点 x=a を(★)の正則点とする。

これらは|x−a|<R で収束し、|x−a|≦R で連続であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) x と x を定めると、級数解 y(x)=0≦k≦∞(x−a) が定まる。

(2) (1)の級数解は|x−a|<R で収束する。

ここではこれの証明を省略する。

定義 ( エルミート微分方程式 )

y’’(x)−2xy’(x)+2αy(x)=0 を微分方程式とする。(★)

ただし、αは実定数であるとする。

このとき、(★)を 『 エルミート微分方程式 』 という。

P1 ( エルミート微分方程式の基本解 )

y’’−2xy’+2αy=0 をエルミート微分方程式とする。(★)

このとき、基本解として yn、1(x)=0≦k≦∞2k2k、yn、2(x)=0≦k≦∞2k+12k+1 を採用できる。

補足

ただし、a の意味は証明中で述べる。

証明

いま、x=0 は正則点である。

そこで、y=0≦n≦∞ を(★)の ( x=0まわりの ) 級数解とする。

これを(★)に代入すると、



式変形すると、



よって、



上式の各係数は 0 である。

つまり、



いま、



よって、



同様に、



1、α(x)=0≦k≦∞2k2k と定める。

2、α(x)=0≦k≦∞2k+12k+1 と定める。

=a=1 とする。

明らかに、y1、α と y2、α は1次独立であり、(★)の解を生成する。

定義 ( エルミート多項式 )

y’’−2xy’+2αy=0 をエルミート微分方程式とする。(★)

多項式 H(x) を次のように定める。



このとき、H(x)、H(x)、H(x)、・・・ を 『 エルミート多項式 』 という。

ただし、(2m−1)!!=1・3・5・・・(2m−1)であり、(2m+1)!!=1・3・5・・・(2m+1)である。

(x) の x の係数は 2 になっている。

これが、a=(−2)(2m−1)!!、a=(−1)m+1(2m−1)!!を定めた理由である。

2m(x)が 2m 次多項式であることを確認する。

いま、a=0 である。

よって、a2k+1=0 である。(※P1証明中の漸化式)

いま、



よって、n≧m+1 ならば a2n=0 である。

よって、H2m(x)=y2m、10≦k≦m2k2k である。(※0≦k≦∞ ではなくて 0≦k≦m となっていることに注意 )

2m+1(x)が 2m+1 次多項式であることを確認する。

いま、a=0 である。

よって、a2k=0 である。(※P1証明中の漸化式)

よって、n≧m+1 ならば a2n+1=0 である。

よって、H2m+1(x)=y2m+1、20≦k≦m2k+12k+1 である。

P2 ( ロドリグの公式〜エルミート多項式ver )

次が成り立つ。

証明

省略する。

定義 ( エルミート多項式の母関数 )

(x) をエルミート多項式とする。

次のようにおく。



このとき、ψ(x、t) を 『 エルミート多項式の母関数 』 という。

計算すると、ψ(x、t)=exp(−t+2tx)=exp(x)exp(−(t−x)) である。

P3 ( エルミート多項式の性質 )

次が成り立つ。

(1)の証明

いま、



よって、Hn+1(x)−2xH(x)+2nHn−1(x)=0 である。(※P2:ロドリグの公式)

(1)の別証明 ( 母関数を用いる方法 )

次のように計算できる。(※項別微分)



一方、



よって、

(2)の証明

次のように計算できる。(※P2:ロドリグの公式)

(3)の証明

(1)と(2)より、成り立つ。