ファラデーの法則(電磁誘導の法則)の背景

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参考 ( 概要 )

次が成り立つ。

(1) 閉経路を固定し、閉経路を貫く磁束が変化すると、閉経路に起電力が生じる。

(2) 磁場が一定で、閉経路が変形(あるいは並進運動)すると、起電力が生じる。

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(1)の具体例としては 「 閉経路に磁石近付ける 」 などがある。

(2)の具体例としては 「 閉経路の一部を可動式の導体棒に置き換える 」 などがある。



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とくに、(1)は 『 ファラデーの法則(電磁誘導の法則)』 と呼ばれることが多い。

つまり、ファラデーの法則は閉経路が変化する場合を含めていない。

そこで、このページでは、(1)と(2)の両方を考慮した式を考える。

ここで、(1)と(2)において起電力が生じる理由を考察しておく。

いま、電荷 q が磁場 B において速度 v で移動するとする。

このとき、電荷 q には力 F=q(E+v×B)がはたらく。(※ローレンツ力)

(1)の場合、磁場が時間変化し、その周囲に電場が発生し、これが閉経路の電子を動かす。

つまり、(1)において電子に作用する力は F=qE である。

(2)の場合、磁場が時間変化しないので、電場は発生しない。

よって、(2)において電子に作用する力は F=qv×B である。

つまり、

「 (1)の誘導起電力は 『 電場 』 に由来する 」

「 (2)の誘導起電力は 『 磁場 』 に由来する 」

ところが、結果として得られる式は同じで、V=−dΦ/dt である。(※後述)

このことは電場と磁場がマクスウェル方程式より基本的な原理によって互いに相関することを示唆する。

実際、電場と磁場は時間と空間の構造によって変換される。

このことは特殊相対性理論によって示される。

これについては別ページで議論する。

復習 ( ファラデーの法則 )

マクスウェル方程式より、



一般に、単位電荷が受ける力を経路に沿って線積分した値を 『 起電力 』 という。

つまり、起電力は単位電荷が経路に沿って移動するときに成される仕事である。

とくに、今回のような場合は V を 『 誘導起電力 』 という。

上式の左辺は(静電場における)誘導起電力である。

誘導起電力を V と表し、閉経路を貫く磁束を Φ と表す。

つまり、V=∫・dr であり、Φ=∫・ndS である。

すると、上式は次のように表される。



これを 『 ファラデーの法則(電磁誘導の法則)』 という。

ただし、上記の主張は閉経路 C が固定されていて動かない場合に限ることに注意。

実際、閉経路が変形(あるいは並進運動)する場合、V=∫(E+v×B)・dr である。

ここで、v(r)は閉経路上の各点 r の移動速度である。

復習 ( スカラーポテンシャルの存在、ベクトルポテンシャルの存在 )

(1) 任意のスカラー場φに対して ∇×(∇φ)=0 が成り立つ。

(2) ベクトル場 v が ∇×v=0 を満たすならば、あるスカラー場φが存在して v=∇φとなる。

(3) 任意のベクトル場 v に対して ∇・(∇×v)=0 が成り立つ。

(4) ベクトル場 v が ∇・v=0 を満たすならば、あるベクトル場 A が存在して v=∇×A となる。

復習 ( ∇φの線積分は経路に依存しない )

φ(r)をスカラー場とする。

点 A の位置ベクトルを r とする。

点 B の位置ベクトルを r とする。

このとき、点 A から点 B へ至る任意の曲線Γに対して次が成り立つ。



つまり、ベクトル場 ∇φ の線積分はφの始点と終点の値によってのみ定まる。

つまり、ベクトル場 ∇φ の線積分は経路に依存しない。

むろん、閉経路 C の場合は ∫∇φ・dr=φ(r)−φ(r)=0 である。

補足

つまり、上記の積分を次のように表すことができる。



この表示からは曲線Γが消えていることに注意しよう。

積分値は経路Γに依存しないので表示する必要がなくなったのである。

復習 ( 公式 )

(1) a・b=−b×a

(2) a・(b×c)=(a×b)・c

復習 ( ストークスの定理 )

(r)をベクトル場とする。

C を閉曲線とする。

S を C を縁としてもつ曲面とする。

このとき、

復習 ( 電磁場のポテンシャル )

(r、t)を時間変動する電場とする。

このとき、

(1) ある A が存在して B=∇×A となる。

(2) あるスカラー関数φが存在して E=−∇φ−∂A/∂t となる。

補足

よく知られているように、電場が時間変化しない場合、E=−∇φ となる。

このφは静電ポテンシャルと呼ばれる。

時間変化がない場合、明らかに、スカラーポテンシャルは静電ポテンシャルに一致する。

補足

つまり、静電磁場では B=∇×A と E=−∇φ が成り立つ。

ただし、上にも書いてあるように、前者は時間変化を含めて成り立つが、後者は成り立たない。

P* ( 誘導起電力〜その1 )

を一定磁場とする。

閉経路 C が変形(または並進運動)するとする。

このとき、誘導起電力は V=−dΦ/dt である。

ただし、Φ は C を貫く磁束である。

証明

電荷 q にはたらく力は F=q(E+v×B) である。(※ローレンツ力)

また、誘導起電力は単位電荷にはたらく力を閉経路に沿って周回積分した値である。

よって、次のように計算できる。(※復習:電磁場のポテンシャル、∇φの線積分、ストークスの定理)



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閉経路 C が時間 Δt の間に v(r) で変形するとする。

閉経路 C を微小区間に分割し、各区間の始点と終点をつなぐ変位を Δr と表す。



いま、(v×B)・Δr=−(B×v)・Δr=−B・(v×Δr)である。(※復習:公式)

また、B・(vΔt×Δr)=B・nΔS=ΔΦ である。

よって、(*)より、

P* ( 誘導起電力〜その2 )

を時間変化する磁場とする。

閉経路 C が変形(または並進運動)するとする。

このとき、誘導起電力は V=−dΦ/dt である。

ただし、Φ は C を貫く磁束である。

補足

P*(誘導起電力〜その1)では、磁場を一定として閉経路を変化させた。

今回は、それをさらに一般化したものである。

証明

閉経路 C が時間 Δt の間に速度 v(r) で変形するとする。

閉経路 C を微小区間に分割し、各区間の変位を Δr と表す。



一般に、閉経路 C を貫く磁束の時間変化は、



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いま、(v×B)・Δr=−(B×v)・Δr=−B・(v×Δr) である。(※復習:公式)

また、B・(vΔt×Δr)=B・nΔS である。

よって、



一方、次が成り立つ。(※微分形マクスウェル方程式の(M2)、ストークスの定理)



(*1)に、(*2)と(*3)を代入すると、



上式左辺は閉経路 C に生じる誘導起電力 V を意味する。

つまり、V=−dΦ/dt である。