フーリエ変換の直接的な計算

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P1 ( 収束定理 )

f(x) を周期関数とする。

f(x) は区分的に滑らかであるとする。

f は連続であるとする。

このとき、S[f] は f に一様収束する。

補足

つまり、連続で、区分的に滑らかな周期関数はフーリエ級数展開可能である。

証明

省略する。

P2

次の関数を考える。



このとき、

補足

図示すると、



つまり、f(x) は周期的な偶関数である。

偶関数では余弦級数展開となり、奇関数では正弦級数展開となることはよく知られている。

今回は余弦級数展開となることを確認する。

証明

計算すると、



P3

(x) を P2 で定めた周期関数とする。

=2Rπ/n とおく。

ω=2π/T=n/R とおく。

つまり、ω は各変動成分の振動数を意味する。

むろん、ω は整数でなくてよい。

横軸として ω、縦軸を (πR/2)a として図示すると、





つまり、R→∞ とすると、(πR/2)a を結ぶ折れ線は、ある曲線に近づくと予想される。

その曲線は次式によって表される。



また、

補足

縦軸を (πR/2)a として、a としなかったことには理由がある。

R倍した理由は、グラフが R に依存しないようにするためである。

π/2倍した理由は、フーリエ変換の定義に合わせるためである。

証明

次のように計算できる。(※P2)





ω を ω に置き換えると、



一方、テイラー展開より、



よって、

P4

(x) をフーリエ級数展開可能で周期的な偶関数とする。( 例えば、P2 や P3 の f である )

=limR→∞ とおく。

このとき、

補足

むろん、f は非周期関数と見なせる。(周期が無限大だからである)

よって、上式は非周期関数に対してフーリエ級数に相当する式である。

後で述べるように、これが 『 フーリエ変換 』 である。

今回は、それを偶関数(余弦級数展開)の形で述べている。

証明

横軸として ω を採用し、縦軸として (πR/2)a を採用する。

いま、(πR/2)a をつないで得られる折れ線は、R→∞ で曲線に近づくと予想される。

その曲線を a(ω) と表す。

すると、次が成り立つ。(※P3)



( n=0 の場合、上式の右辺では ω→0 の極限を採用する )

ただし、P3 では f を具体的に定めていた。

一方、今回、f は一般の周期的な偶関数を考えている。

よって、P3 をそのまま引用することは適切ではない。

そこで、議論を白紙に戻し、P3 と同じ手順で考えてみよう。

定義(フーリエ係数)より、



P3 では (πR/2)a を考え、ω=n/R とおいて n を消去する。

さらに、R→∞ として ω を ω に置き換えたのであった。

つまり、(*2)の両辺に (πR/2) に掛け、n/R を ω に置き換えればよい。

つまり、



また、(*2)に相当する式として、



よって、



つまり、(*5) は (*1) に相当する式である。

よって、f のフーリエ余弦級数展開は、



図示すると、



とくに、上図の左端にある長方形のみ、その幅は 1/2R となっている。

その他の長方形は 1/R である。

このことは(*)に注意すれば分かるであろう。

むろん、長方形の面積は R→∞ で積分に近づくと予想される。

よって、

定義 ( フーリエ変換 )

(x) を、周期 T の関数とする。

いま、



ω=2nπ/T とおく。( つまり P3 と同様 )

いま、次が成り立つ。( ただし積分範囲をズラした )



横軸として ω を採用し、縦軸として (T/4)a を採用する。( つまり P4 と同様 )

ここで、次のようにおく。( その正当性は P4 と同じである )



いま、



いま、b(ω)は定義されていない。

実際、b は定義されていないからである。

しかし、b の定義域において n=0 を考えると、b=0 である。

よって、b(ω)=0 と見なせる。

よって、形式的に次のように表せる。



ここで、f(x)=limT→∞(x) とおく。

つまり、f(x)は非周期関数である。

また、次のように予想される。(※P4と同様)



一方、



よって、次のように予想される。



ここで、F[f(x)](ω)=2(a(ω)−ib(ω)) とおく。

いま、



( つまり、F[f(x)](ω)は、a(ω) と b(ω)の情報をもっている )

このとき、F[f](ω) を 『 f のフーリエ変換 』 という。