ガウス曲率>0⇒凸であり、ガウス曲率<0⇒鞍である

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参考

このページでは次を示す。

(1) ガウス曲率の座標変換不変性

(2) ガウス曲率の合同変換不変性

さらに、この(1)と(2)を用いて次を示す。

(3) ガウス曲率が正ならば、その点で曲面は凸である。

(4) ガウス曲率が負ならば、その点で曲面は鞍である。

(5) 主曲率は実数である。

(6) 「 ガウス曲率=0 」 かつ 「 平均曲率=0 」 となる曲面は、平面のみである。

定義 ( 外微分〜その1 )

f(u、v) を2変数実数値関数とする。

df(u、v)=f(u、v)du+f(u、v)dv と定義する。

このとき、df を 『 f の外微分 』 または 『 f の全微分 』 という。

Δf=f(u+Δu、v+Δv)−f(u、v) とおく。

いま、近似的に Δf≒f(u、v)Δu+f(u、v)Δv である。(※テイラー展開)

外微分 df=fdv+fdv はこれを表したものであると見なすことができる。

ただし、df は f や f を載せておくための 『 棚 』 のようなものであると考えてよい。

つまり、df を単なる形式的な記号と見なしてもよい。

定義 ( 外微分〜その2 )

φ(u、v) を曲面とする。

dφ(u、v)=φ(u、v)du+φ(u、v)dv と定義する。

このとき、dφ を 『 φの外微分 』 という。

φ(u、v)=(x(u、v)、y(u、v)、z(u、v))とおくと、dφ=(dx、dy、dz) である。

むろん、dx、dy、dz は定義(外微分〜その1)に基づく。

定義 ( 第1基本行列、第1基本形式 )

φ:D→ を曲面とする。

次のように定める。



ただし、

(*1) E=φ・φ

(*2) F=φ・φ

(*3) G=φ・φ

このとき、T を 『 第1基本行列 』 という。

また、Tを 『 第1基本形式 』 という。

また、E、F、G を 『 第1基本量 』 という。

明らかに、ds=dφ・dφ と表示できる。

曲面上の2点 φ(u、v) と φ(u+Δu、v+Δv) の距離 Δs は次のように近似できる。(※テイラー展開)



第1基本形式は、これを表したものであると見なすことができる。

第1基本行列を用いると、第1基本形式を次のように表せる。

注意 ( 曲面の向き )

φ(u、v) を曲面とする。

n(u、v)=φ×φ/|φ×φ|と定義する。

このとき、n を 『 φの向き 』 という。

むろん、n はφの単位法ベクトル場である。

定義 ( 第2基本行列、第2基本形式 )

次のように定める。



ただし、

(*1) L=−φ・n=φuu・n

(*2) M=−φ・n=−φ・n=φuv・n

(*3) N=−φ・n=φvv・n

このとき、U を 『 第2基本行列 』 という。

また、U を 『 第2基本形式 』 という。

また、L、M、N を 『 第2基本量 』 という。

(*1)〜(*3)の証明

いま、φ と φ は n と直交する。

つまり、φ・n=0、φ・n=0 である。

よって、両辺を偏微分すると、(*1)〜(*3)を得る。

第2基本行列を用いると、第2基本形式を次のように表せる。

明らかに、U=−dφ・dn=−(φdu+φdv)・(ndu+ndv)=Ldu+2Mdudv+Ndv である。

注意 ( 第1基本行列は正則行列である )

第1基本行列の行列式は正である。

証明

v、w∈ とおくと、



つまり、(v、v)(w、w)−(v、w)=|v×w| である。( これを 『 ラグランジュの恒等式 』 という )

よって、detT=EG−F=|φ×φ>0 である。

定義 ( ワインガルテン行列 )

W=(T−1U と定義する。(※注意:第1基本行列は正則である)

このとき、W を 『 ワインガルテン行列 』 という。

定義 ( 主曲率、ガウス曲率、平均曲率 )

ワインガルテン行列 W の固有値 λ と λ を 『 φの主曲率 』 という。

K=detW と定義する。

H=(1/2)trW と定義する。

このとき、K を 『 ガウス曲率 』 という。

また、H を 『 平均曲率 』 という。

P2 ( ガウス曲率の計算式 )

λ と λ を主曲率とする。

このとき、

補足

つまり、ガウス曲率は 「 第1基本量と第2基本量 」 で表される。

ちなみに、ガウス曲率を 「 第1基本量の2階微分まで 」 のみで表すこともできる。

数学者ガウスは、これを 『 驚異の定理 』 と名付けた。

(1)の証明

一般に、正方行列 A に対して|A−1|=|A|−1 である。

一方、



よって、定理の式が成り立つ。

(2)の証明

いま、



よって、定理の式が成り立つ。

(3)の証明

ワインガルテン行列は対称行列 T−1、U の積である。

よく知られているように、2次対称行列は、行列式1の行列で対角化できる。

むろん、対角化された行列の対角成分は、λ と λ である。

よって、detA=λλ である。

(4)の証明

(3)と同様である。

定義 ( ヤコビ行列〜その1 )

u=u(ξ、η)、v=v(ξ、η) を座標変換とする。(★)

次のように定める。



このとき、J[u、v] を 『(★)のヤコビ行列 』 という。

定義 ( ヤコビ行列〜その2 )

φ(ξ、η)を座標変換とする。(★)

φ=(φ、φ) とおく。

次のように定める。



このとき、J[φ] を 『(★)のヤコビ行列 』 という。

注意

明らかに、定義(ヤコビ行列〜その1)と定義(ヤコビ行列〜その2)は同じ意味である。

定義 ( 正の座標変換 )

u=u(ξ、η)、v=v(ξ、η) を座標変換とする。(★)

detJ[u、v]>0 であるとき、(★)を 『 正の座標変換 』 という。

detJ[u、v]<0 であるとき、(★)を 『 負の座標変換 』 という。

よく知られている正の座標変換として 『 極座標変換 』 がある。

つまり、x=rcosθ、y=rsinθ である。

実際、detJ[x、y]=r>0 である。

定義 ( 合同変換 )

長さと角度を保存する の変換を 『 合同変換 』 という。

定義 ( 向きを保つ合同変換 )

よく知られているように、任意の合同変換 φ: は次の形で表される。

(*) φ(p)=Tp+a ( T は直交行列、a は定ベクトル )

とくに、detT=1である場合、φを 『 向きを保つ合同変換 』 という。

また、detT=−1である場合、φを 『 向きを逆にする合同変換 』 という。

直交行列とは、TT=TT=I ( 単位行列 ) を満たす行列である。

よく知られているように、直交行列の行列式は +1 または −1 である。

detT=1 である場合、T は3次元的な回転を意味する。

よって、向きを保つ合同変換は 「 回転と平行移動の合成 」 である。

P3 ( 外微分は座標変換に対して不変である )

f(u、v) を2変数実数値関数とする。

u=u(ξ、η)、v=v(ξ、η) を座標変換とする。

このとき、df(u、v)=df(ξ、η) である。

つまり、fdu+fdv=fξdξ+fηdη である。

証明

いま、du(ξ、η)=uξ(ξ、η)dξ+uη(ξ、η)dηである。

また、dv(ξ、η)=vξ(ξ、η)dξ+vη(ξ、η)dηである。

よって、

補足

既に確認したように、df=fdu+fdv は、Δf≒fΔu+fΔv を表したものである。

この視点に立つと、上記の証明を直観的に理解しやすい。

参考 ( 具体例 )

f(u、v)=u+v とおく。

u=rcosθ、v=rsinθを座標変換とする。

このとき、df(u、v)=df(r、θ)である。

証明

既に、このことは示されている。(※P3)

しかし、ここでは直接的に計算してみよう。

いま、r=√(u+v)、θ=tan−1(v/u) である。

よって、



よって、

P4 ( 第1基本形式は座標変換に対して不変である )

φ(u、v) を曲面とする。

u=u(ξ、η)、v=v(ξ、η) を座標変換とする。

このとき、ds(u、v)=ds(ξ、η) である。

つまり、dφ(u、v)・dφ(u、v)=dφ(ξ、η)・dφ(ξ、η) である。

証明

既に示したように、外微分dφは座標変換に対して不変である。(※P3)

よって、ds=dφ・dφも座標変換に対して不変である。

P5 ( 第1基本量の座標変換公式 )

φ(u、v) を曲面とする。

u=u(ξ、η)、v=v(ξ、η) を座標変換とする。

このとき、

補足

むろん、定理の式は、I(ξ、η)=J[u、v]I(u、v)J[u、v] と表せる。

証明

いま、du=uξξ+uηη、dv=vξξ+vηη である。

よって、



一方、P4より、



つまり、



まとめると、

P6

次が成り立つ。

(1) 第2基本形式は、正の座標変換に対して不変である。

(2) 第2基本形式は、負の座標変換で符合が反転する。

(1)と(2)の証明

φ(u、v) を曲面とする。

n(u、v) をφの向きとする。

つまり、n=φ×φ/|φ×φ|である。

いま、



よって、n は正の変換で不変であり、負の変換で符号が反転する。

一方、U=−dφ・dn である。

また、dφは座標変換に対して不変である。(※P3)

よって、Uは正の変換で不変であり、負の変換で符合が反転する。

P7 ( 第2基本量の座標変換公式 )

φ(u、v) を曲面とする。

u=u(ξ、η)、v=v(ξ、η) を座標変換とする。

とくに、正の座標変換である場合、



一方、負の座標変換である場合、

(1)の証明

第1基本形式の場合と同様に、

(2)の証明

P6で示したように、n の符合が反転する。

P8 ( ワインガルテン行列の座標変換公式 )

φ(u、v) を曲面とする。

u=u(ξ、η)、v=v(ξ、η) を座標変換とする。

とくに、正の座標変換である場合、



一方、負の座標変換である場合、

(1)と(2)の証明

明らかである。(※P5、P7)

P9

次が成り立つ。

(1) ガウス曲率と平均曲率は、正の座標変換に対して不変である。

(2) ガウス曲率は、負の座標変換に対して不変である。

(3) 平均曲率は、負の座標変換で符合が反転する。

(1)〜(3)の証明

明らかである。(※P8)

P10 ( ワインガルテンの公式 )

φ(u、v) を曲面とする。

n(u、v) をφの向きとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) (n、n)=−(φ、φ)W

また、次は同値である。

(2) n と n は1次従属である。

(3) ガウス曲率は 0 である。

(1)の証明

P=(φ、φ) とおく。( つまり、P は2×2行列である )

いま、TPP である。

また、U=−P(φ、φ) である。

よって、−(φ、φ)W=−PW=−P(T−1U=−P(PP)−1(−P(φ、φ))=(φ、φ) である。

(2)の証明

いま、φ と φ は1次独立である。

よって、(1)より、「 n と n が1次従属である 」 と 「 detW=0 」 は同値である。

P11 ( ガウス曲率の合同変換不変性 )

次が成り立つ。

(1) ガウス曲率と平均曲率は、向きを保つ合同変換に対して不変である。

(2) ガウス曲率は、向きを逆にする合同変換に対しても不変である。

(3) 平均曲率は、向きを逆にする合同変換で符合が反転する。

(1)〜(3)の証明

φ(u、v) を φ(u、v) に合同変換を行ったものとする。

つまり、φ=Tφ+a ( T は直交行列、a は定ベクトル ) と表せる。(★1)

いま、φ=Tφ、φ=Tφ である。

また、φuu=Tφuu、φuv=Tφuv、φvv=Tφvv である。

を φ の向きとする。

つまり、n=φ×φ/|φ×φ| である。(★2)

いま、(★1)と(★2)より、n=(detT)Tn である。(★3)

また、φとφ の第1基本量・第2基本量は直接的に計算できる。

とくに、(★3)より、detT<0 ならば、第2基本量(L、M、N)の符合は反転する。(※P1)

既に確認示したように、



よって、K の場合は符合が打ち消される。

つまり、K は一般の合同変換に対して不変である。

一方、H の場合は符合が打ち消されない。

P12 ( グラフ曲面のガウス曲率 )

z=f(x、y) を曲面とする。( つまり、グラフ曲面である )

このとき、

証明

φ(x、y)=(x、y、f(x、y)) とおく。

点(x、y)での接ベクトルは、φ=(1、0、f)、φ=(0、1、f) である。

よって、例えば、

(*1) E=(1、0、f)・(1、0、f)=1+f

(*2) F=(1、0、f)・(0、1、f)=f

(*3) G=(0、1、f)・(0、1、f)=1+f

P13 ( ガウス曲率>0⇒凸であり、ガウス曲率<0⇒鞍である )

次が成り立つ。

(1) ガウス曲率が正になる点の近くで、曲面は凸である。

(2) ガウス曲率が負になる点の近くで、曲面は鞍である。

証明

点 P を曲面上の点とする。

既に示したように、ガウス曲率は合同変換に対して不変である。

よって、曲面を回転・平衡移動して、点Pは原点であるとして一般性を失わない。

また、接平面は(x、y)平面であるとしてよい。

曲面を φ(u、v)=(x(u、v)、y(u、v)、z(u、v)) と表す。

ψ(u、v) を、(u、v)平面から(x、y)平面への写像とする。

P=(0、0、0)=φ(u、v) とおく。

いま、次のベクトルは1次独立である。

(*1) φ(u、v)=(x(u、v)、y(u、v)、0)=(ψ、0)

(*2) φ(u、v)=(x(u、v)、y(u、v)、0)=(ψ、0)

つまり、ψのヤコビ行列は、(u、v)で 0 ではない。

よって、(x、y)平面の原点近傍で定義された逆写像 ψ−1 が存在する。(※逆関数定理)

よって、φ*ψ−1 を考えれば、φをグラフ曲面と見なすことができる。

そこで、φ(x、y)=(x、y、f(x、y)) とおいてよい。

いま、f(0、0)=f(0、0)=f(0、0)=0 である。

よって、次のように表せる。(※テイラー展開)

(*) f(x、y)=2−1(fxx(0、0)x+2fxy(0、0)xy+fyy(0、0)y+o(x+y))

つまり、曲面は原点付近で z=2−1(ax+2bxy+cy) で近似される。

ただし、a=fxx(0、0)、b=fxy(0、0)、c=fyy(0、0) である。

a≠0 である場合について考える。

いま、



よって、ac−b=fxxyy−fxy>0 の場合、f のグラフは凸である。

とくに、a>0 ならば、f のグラフは z≧0 に含まれる。

また、a<0 ならば、f のグラフは z≦0 に含まれる。

一方、ac−b=fxxyy−fxy<0 ならば、曲面は鞍である。

一方、P12より、



つまり、定理が示された。

P14

主曲率は実数である。

証明

既に示したように、いま、f(0、0)=f(0、0)=f(0、0)=0 である。(※P13の証明)

よって、E=G=1、F=0 である。(※P12)

よって、W=(T−1U=U である。

つまり、W は対称行列である。

よく知られているように、2次対称行列の固有値は実数である。

つまり、主曲率 ( A の固有値 ) は実数である。

P15

「 ガウス曲率=0 」 かつ 「 平均曲率=0 」 となる曲面は、平面のみである。

証明

φ:D→ を曲面とする。

P を曲面上の点とする。

回転と平行移動を行い、点 P を原点としてよい。

いま、点 P の近傍で曲面を z=f(x、y) で表せる。(※P13の証明)

いま、P におけるワインガルテン行列 W は対称行列となる。(※P14の証明)

仮定より、detW=0、trW=0 である。

よって、W は零行列である。

よって、第2基本量はすべて 0 である。

よって、φの向きは、n=定ベクトルである。(※ワインガルテンの公式)

つまり、φは平面である。