外力と内力→応力テンソルの対称性

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定義 ( 外力、内力 )

物体に働く力は次のように分類できる。

(1) その物体とは別の物体から伝達される力

(2) その物体の内部で伝達される力

前者(1)を 『 外力 』 という。

後者(2)を 『 内力 』 という。

弾性体内部において単位体積あたりにはたらく外力を 『 物体力 』 という。

弾性体内部(または表面)において単位面積あたりにはたらく内力を 『 表面力 』 という。

とくに、単位面積あたりに働く内力を 『 応力 』 という。

例えば、物体力として 「 重力 」 がある。

例えば、表面力として 「 圧力 」 がある。

例えば、机の上に物体を置く。

物体には重力が働くが、物体は落下しない。

なぜなら、物体は机から抗力を受けるからである。

むろん、この 「 重力 」 や 「 抗力 」 は 「 物体に働く外力 」 である。

物体に外力が働くと、物体の内部に内力が生じ、物体は変形する。

むろん、「 この変形は外力によって生じた 」 と言える。

ただし、物体の変形は外力が直接的に働いていない部分に起こる。

ゆえに、「 この変形は内力によって生じた 」 と表現することもできる。

定義 ( 応力テンソル )

ΔA を x 軸に直交する微小面積要素とする。

Δf をその面積要素に生じる内力の x 成分とする。

いま、応力を次のように表すことができる。



これら9つの応力成分を 『 応力テンソル 』 という。

とくに、σxx、σyy、σzz を 『 法線応力 』 という。

また、σij ( i≠j ) を 『 せん断応力 』 という。

法線応力は外向きの法線を正とする。

せん断応力 σij は、外向きの法線を x 軸の正として、x 軸の向きを正とする。



ここで、平面 A に注目しよう。

例えば、y 軸を ( yz 面内で ) 外向き法線の向きに回転させると、z 軸は −z 方向になる。

ゆえに、σyz は −z 方向が正である。

例えば、y 軸を ( yx 面内で ) 外向き法線の向きに回転させると、x 軸は −x 方向になる。

ゆえに、σyx は −x 方向が正である。

P10 ( 応力テンソルの対称性 )

応力テンソルは対称テンソルである。

つまり、応力テンソル [σij] の成分について σij=σji が成り立つ。

補足

応力テンソルの成分は9つである。

ただし、今回の定理により、独立な成分は6つである。

証明

弾性体内の応力は位置によって異なる。

x 面 ( x 軸に直交する面 ) に生じる x 軸、y 軸、z 軸、の応力成分を σxx、σxy、σxz とする。

すると、x+dx面 ( x 面から dx だけ離れた面 ) に生じる応力成分は、



図示すると、



つまり、x 面 ( むろん面積は dydz ) における応力をまとめると、



同様に、y 面 ( むろん面積は dxdz ) における応力をまとめると、



同様に、z 面 ( むろん面積は dxdy ) における応力をまとめると、



z 軸まわりのモーメントの釣り合いは、



高次の項を無視すると、σxy=σyx である。

同様に、σyz=σzy と σzx=σxz が成り立つ。



P11 ( コーシーの関係式 )

n→ を法線ベクトル n をもつ面にはたらく応力ベクトルとする。

を、Tn→ の x 成分とする。

を x 軸と n の方向余弦とする。

このとき、

証明

微小四面体 OABC を考える。

各点の座標を O(x、y、z)、A(x+dx、y。z)、B(x、y+dy、z)、C(x、y、z+dz) とする。

「 点 O から面 ABC への垂線 」 と 「 面 ABC 」 の交点を P とする。

|OP|=h とする。

面 ABC の面積を dS とする。

面OBC、面OAC、面OAB の面積を dS、dS、dS と表す。

面 ABC の単位法線ベクトルを n=(n、n、n) とする。

いま、dS=dS・n、dS=dS・n、dS=dS・n である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

微小四面体にはたらく応力を図示すると、



=(F、F、F) を物体力とする。

x 軸方向の釣り合いは、TdS+F(1/3)dS・h=σxxdS・n+σyxdS・n+σzxdS・n である。

ここで、h→0 とする。

物体力を含む項は高次の微小量であるから h→0 で 0 になるとしてよい。

よって、T=σxx+σyx+σzx である。

同様に、y 軸方向について T=σxy+σyy+σzy である。

また、z 軸方向について T=σxz+σyz+σzz である。

まとめると、T=σji である。

P12 ( 平衡方程式〜応力ver )

応力成分 σij、物体力 F に対して次が成り立つ。

補足

連続体の世界では次式が示される。



これを 『 コーシーの運動方程式 』 という。

今回の 『 平衡方程式 』 は、コーシーの運動方程式の加速度の項を 0 にしたものである。

つまり、平衡方程式は、コーシーの運動方程式に関する釣り合いである。

平衡方程式は初等的に示される。

コーシーの運動方程式は 『 レイノルズの輸送定理 』 と 『 ガウスの発散定理 』 によって示される。

証明

x 軸方向の力を図示すると、



x 軸方向の釣り合いの式は、



よって、



同様に、y 軸方向と z 軸方向の釣り合いを考えると、





まとめると、