ガンマ関数、ベータ関数

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参考

このページでは、ガンマ関数とベータ関数を定義し、それぞれの性質を述べる。

ガンマ関数は、f(n+1)=n! ( n は非負整数 )の拡張である。

ガンマ関数とベータ関数は広義積分によって定義される。

そこで、まずは広義積分が収束することを示すために定理を用意する。

P1 ( 補題 )

任意の自然数 k に対して limx→∞/e=0 である。

証明

k=2 の場合について示す。( 他も同様である )

x>0 とする。

いま、ある 0<c<x が存在して、e=1+x+x/2!+x/3!+(x/4!)e となる。(※マクローリン展開)

よって、e>1+x+x/2!+x/3!>x/3!である。

よって、x/e<x/(x/3!)=6/x→0 ( x→∞ ) である。

P2 ( 補題 )

次の広義積分は p<−1 で収束し、p≧−1 で発散する。



また、次の広義積分は p≦−1 で発散し、p>−1 で収束する。

証明

明らかである。

P3 ( 優収束定理 )

f:[a、b]→ を関数とする。

g:[a、b]→[0、∞) を非負値関数とする。

[a、b] 上で 0≦|f(x)|≦g(x) であるとする。

次の広義積分は収束するとする。



このとき、次の広義積分は収束する。

補足

上記の g を 『 f の優関数 』 という。

証明

この定理は微分積分学で有名なので省略する。

定義 ( ガンマ関数 )

次のように定義する。



このとき、Γ を 『 ガンマ関数 』 という。

ただし、上式右辺の広義積分が存在することを確認する必要がある。

f(t)=e−ts−1 とおく。

g(t)=t−2 とおく。

いま、|f(t)|/g(t)=e−tx+1 である。

N>x+1 を自然数とする。

いま、t≧1 に対して tx+1/e≦t/e である。

よって、limx→∞/e=0 である。(※P1)

よって、ある c≧1 が存在して、t≧c に対して|f(t)|/g(t)≦1 である。

つまり、[c、∞)上で|f(t)|≦g(t) である。

また、次の積分は収束する。(※P2)



つまり、g は [c、∞) 上で f の優関数である。

よって、次の積分は収束する。(※P3:優収束定理)



一方、t>0 のとき、f(t)=e−tx−1<tx−1 である。

h(t)=tx−1 とおく。

いま、x−1>−1 である。

また、次は収束する。(※P2)



つまり、h は (0、c] 上で f の優関数である。

よって、次の積分は収束する。(※P3:優収束定理)

P4 ( ガンマ関数は f(n)=(n+1)!の拡張である )

(1) x>0 に対し、Γ(x+1)=xΓ(x) である。

(2) 非負整数 n に対し、Γ(n+1)=n!である。

補足

つまり、ガンマ関数は f(n+1)=n! の 『 補間関数 』 である。

(1)の証明

計算すると、

(2)の証明

(1)より、Γ(n+1)=nΓ(n) である。

一方、Γ(1)=1 である。

よって、帰納的に Γ(n+1)=n! である。

定義 ( 拡張されたガンマ関数 )

ガンマ関数は x>0 で定義されていた。

これは { x∈ |x≠0、−1、−2、・・・ } に拡張できる。

実際、次のように定めることができる。(※P4)

図示すると、

P5 ( 補題 )

f:[a、b)→ を連続関数とする。

ある λ<1 が存在して、b の十分近くで f(x)(b−x)λ は有界となるとする。

このとき、次の積分が存在する。

補足

f が (a、b] 上で連続な関数である場合、(b−x) を (x−a) に置き換えた定理が成り立つ。

証明

省略する。

定義 ( ベータ関数 )

次のように定義する。



このとき、B を 『 ベータ関数 』 という。

ただし、上式右辺の積分が存在することを確認する必要がある。

とくに、p と q の値によって被積分関数が不連続となることに注意する。

被連続関数が不連続である場合、右辺の積分は広義積分である。

β(x)=xp−1(1−x)q−1 と定める。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、p、q≧1 の場合について考える。

いま、β(x) は [0、1] 上で連続な関数である。

よって、次の積分が存在する。(※よく知られているように、連続関数は可積分である)



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、0<p<1 の場合について考える。

いま、β(x) は x=0 で不連続である。

しかし、limx→+0β(x)x1−p=limx→+0(1−x)q−1=1 である。

よって、β(x)x1−p は x=0 の近傍で有界である。

よって、次の積分が存在する。(※P5)



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、0<q<1 の場合について考える。

いま、β(x) は x=1 で不連続である。

しかし、limx→1−0β(x)(1−x)1−q=limx→1−0p−1=1 である。

よって、β(x)(1−x)1−q は x=1 の近傍で有界である。

よって、次の積分が存在する。(※P5)



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、任意の p、q>0 に対して定義の積分が存在する。

P6 ( ベータ関数の性質〜その1 )

次が成り立つ。

(1)の証明

t=1−x とおいて変数変換すればよい。

(2)の証明

いま、xp−1(1−x)q−1=x(1−x)q−1+xp−1(1−x) である。

これを区間(0、1)上で積分すると、B(p、q)=B(p+1、q)+B(p、q+1) である。

一方、B(p、q+1)=(q/p)B(p+1、q)である。(※部分積分)

よって、B(p、q)=(1+q/p)B(p+1、q) である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

p と q の役割を入れ替えると、B(q、p)=(1+p/q)B(q+1、p) である。

よって、(1)より、B(p、q)=(1+p/q)B(p、q+1) である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、定理が示された。

(3)の証明

x=cost によって置換積分すればよい。

(4)の証明

(3)より明らかである。

P7 ( ベータ関数の性質〜その2 )

p、q>0 とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

計算すると、

(2)の証明

計算すると、

(3)の証明

まず、p と q が実数である場合について考える。

(2)、(1)より、



ここで p と q を自然数とすると、

P8 ( ベータ関数の応用 )

自然数 m、n に対し、次が成り立つ。

補足

m=1、n=1 とすると、



これは高校数学でよく知られている。

証明

x=a+(b−a)s と変換すると、次のように計算できる。(※P8)