グリーンの定理→中学理科(アルキメデスの原理)

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) グリーンの定理

(2) アルキメデスの原理

復習 ( ガウスの発散定理 )

をベクトル場とする。

V を3次元の領域とする。

S を V の表面とする。

このとき、

P1 ( グリーンの定理 )

f(x、x、x)を3変数実数値関数とする。

V を3次元の領域とする。

S を V の表面とする。

=(n、n、n)を S の(外向き)単位法ベクトル場とする。

このとき、

証明(直観)

ガウスの発散定理より、



ただし、v=(v、v、v)とおいた。

むろん、各 v は実数値関数である。

ここで、1つの v に注目して、これを f とすると、

証明(厳密)

L を、x軸方向に平行で、Sを通る直線とする。

いま、L と S は2つの交点をもつ。

を、交点のうちで x 座標が小さい方とする。

を、交点のうちで x 座標が大きい方とする。

(P)を、点 P における表面 S の外向き単位法ベクトルとする。

明らかに、n=cos(x、n(P))<0 であり、n=cos(x、n(P))>0 である。



dS を、P における S の微小面とする。

dS を、P における S の微小面とする。

いま、dxdx=−ndS であり、dxdx=ndS である。

よって、

P2 ( アルキメデスの原理 )

静止した流体中に物体があるとする。

このとき、物体に働く浮力は 「 物体が排除した体積に相当する流体の重さ 」 に等しい。

証明

深さ h の水槽に密度ρの流体がみたされているとする。

V を、物体が排除した流体の体積とする。

を大気圧とする。

深さ h の位置を原点とし、上向きに x 軸をとる。

p を、点 x=(x、x、x) における流体の圧力とする。

いま、p=p(x)=p(x、x、x)=p+ρg(h−x)である。(★1)

S を、流体が排除した領域の表面とする。

を、S の(外向きの)単位法ベクトル場とする。

いま、位置 x において、その微小面に働く力は df=−(p(x)dS)n である。

とくに、df の上向き成分 ( x成分 ) は、df=df・e である。

つまり、df=df・e=−p(x)dS(n・e)=−p(x)ndS である。(★2)

(★1)、(★2)より、次のように計算できる。(※グリーンの定理)