外積〜剰余類による構成

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定義 ( 交代化 )

σを r 次置換とする。

sgn(σ)をσの符合とする。

次のように定義する。



このとき、A を 『 交代化 』 という。

また、S を 『 対称化 』 という。

とくに以下の議論で重要となるのは交代化である。

注意

以下、A は線形作用素であるとする。

つまり、A(k狽磨宸浴j=狽汲`(v○w)である。

P1

次が成り立つ。

証明

明らかである。

P2

次が成り立つ。

証明

P1を繰り返し用いると、

定義 ( 外積 )

N=KerA とおく。

いま、N は V○V の部分空間である。(※線形代数)

V○V を N で剰余類に分けたものを ∧(V)と表す。

このとき、∧(V)を 『 外積 』 という。

狽汲磨宸 が属する剰余類を 狽汲磨ネw と表す。

むろん、v○w が属する剰余類は v∧w である。

一見すると、外積の定義は複雑に視えるかもしれない。

しかし、実際には簡単である。

いま、N は A で写すと 0 になる V○V の元を意味する。

よって、v∧w は 『 A で A(v○w)へ写される V○V の元全体 』 である。

例えば、v∧w には v○w や A(v○w)が属している。(※P2)

実際、A(v○w−A(v○w))=0 であるから、v○w−A(v○w)∈N である。

同値類に不慣れな場合は次の定義に注目するとよい。

定義 ( 外積:簡易版 )

狽汲磨宸浴クV○V とおく。

狽汲磨ネw=A(狽汲磨宸浴jと定義する。

一気に簡単になったので拍子抜けする人がいるかもしれない。

しかし、以下の議論ではこの定義で十分である。

同値類の言葉を用いれば 「 最初から代表元を選んで外積として定義している 」 ということである。

P3 ( 外積の計算法則 )

(V)について次が成り立つ。

(1) v∧w=−w∧v

(2) v∧v=0

(3) (v+v)∧w=v∧w+v∧w

(4) (kv)∧w=kv∧w

また、∧(V)について次が成り立つ。

(5) v∧v∧v=v∧v∧v=v∧v∧v=−v∧v∧v=−v∧v∧v=−v∧v∧v

(6) (v+v)∧w∧u=v∧w∧u+v∧w∧u

(7) (kv)∧w∧u=kv∧w∧u

補足

上記の関係は既に第0章で登場している。

そのときは、最初にこの計算法則を規約として認めていたのであった。

一方、今回はテンソル積から外積を構成し、これらの関係を導くのである。

(1)の証明

明らかである。(※P1)

(2)の証明

(1)より明らかである。

(3)の証明

いま、(v+v)∧w=2−1((v+v)○w−w○(v+v))である。(※P1)

また、(v+v)○w=v○w+v○w である。

また、w○(v+v)=w○v+w○v である。

よって、(v+v)∧w=2−1(v○w−w○v)+2−1(v○w−w○v)である。

つまり、(v+v)∧w=v∧w+v∧w である。

(4)〜(7)の証明

省略する。

定義 ( ∧(V)の元と∧(V)の元の外積 )

φ∈∧(V)、ψ∈∧(V)とおく。

φ∧ψ=Ar+s(φ○ψ)と定義する。

P4

∧・・・∧v∈∧(V)とおく。

∧・・・∧w∈∧(V)とおく。

このとき、次が成り立つ。

(*) (v∧・・・∧v)∧(w∧・・・∧w)=v∧・・・∧v∧w∧・・・∧w

証明

いま、



よって、



上式の最後の式変形では次のことに注意する。(※P3(1))

参考

r=2、s=1の場合について直接的に計算してみよう。

つまり、φ=v∧v∈∧(V)、ψ=w∈∧(V)=V である。

このとき、

P5

次が成り立つ。

証明

地道に計算すればよい。(※P3)

ここではテンソル積を構成し、そこから P3 を導いた。

そして、P3 から P5 を計算できる。

一方、最初から形式的に P3 を計算規則として採用し、そこから P5 を得ることも当然に可能である。