「ガウス曲率=一定」の回転面、円柱面、円錐面、擬球面

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P3 ( 曲面を c 倍すると、ガウス曲率 1/c 倍、平均曲率は 1/c 倍 )

φ(u、v) を曲面とする。

φ(u、v)=cφ(u、v) と定める。

このとき、次が成り立つ。

(1) φ の第1基本量は、φの第1基本量の c 倍である。

(2) φ の第2基本量は、φの第2基本量の c 倍である。

補足

つまり、ガウス曲率は 1/c 倍、平均曲率は 1/c 倍である。

(1)の証明

いま、φ=cφ、φ=cφ である。

よって、第1基本量は c 倍である。

(2)の証明

いま、φuu=cφuu、φuv=cφuv、φvv=cφvv である。

よって、第2基本量は c 倍である。

P4 ( ガウス曲率が一定な回転曲面の分類 )

Γ(s) を xz 平面上の曲線とする。( s は弧長パラメータである )

Γ(s)=(x(s)、z(s)) とおく。( x(s)>0 であるとする )

φ(u、v)=(x(u)cosv、x(u)sinv、z(u)) とおく。( u は弧長パラメータである )

つまり、φはΓを z 軸まわりに回転させて成る曲面である。

φのガウス曲率は一定であるとする。

既に示したように、曲率を拡大縮小することで、ガウス曲率は定数倍される。(※P1)

よって、K=+1、0、−1 の場合を考えれば十分である。

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K=0 の場合、



とくに、a=0 の場合は円柱面、0<|a|<1の場合は円錐面、|a|=1の場合は平面である。

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K=+1 の場合、



とくに、C<1 の場合は中央が膨らんだ円盤形、C=1の場合は球面、C>1は樽(たる)形である。

図示すると、



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K=−1 の場合、







ただし、αとβの意味は証明の中で述べる。

補足

K=−1 の場合を図示すると、



とくに、αβ=0 の場合について得られた図形を 『 擬球面 』 という。

擬球面を記述する xz 平面上の曲線は 『 トラクトリクス(追跡線)』 または 『 犬曲線 』 と呼ばれる。

この曲線上の各点から z 軸まで引かれる接線の長さは1であり、一定である。

これはヒモで繋がれた犬を連想させるので、これが名前の由来であろう。

また、擬球面という名前の由来も同様であろう。

補足

よく知られているように、弧長パラメータによる曲線の速度ベクトルは1である。

よって、x’(u)+z’(u)=1 である。(★1)

よって、x’x’’+z’z’’=0 である。(★2)

よって、E=1、F=0、G=x である。

n をφの向きとする。

つまり、n=φ×φ/|φ×φ|である。

いま、n(u、v)=(−z’(u)cosv、−z’(u)sinv、x’(u)) である。

よって、L=x’z’’−z’x’’、M=0、N=xz’ である。

(★1)、(★2)より、x’z’’−z’x’’=−x’’/z’ である。

よって、L=−x’’/z’ である。

いま、K=LN/EG=−xx’’/x=−x’’/x である。(★3)

また、H=(EN+GL)/(2EG)=z’/zx−x’’/2z’ である。(★4)

以下の証明では以上の結果を引用する。

証明 ( K=0の場合 )

いま、(★3)より、x’’=0 である。

よって、x(u)=au+b である。

よって、(★1)より、z(u)=u√(1−a) である。

証明 ( K=+1の場合 )

いま、(★3)より、x’’=−x である。

よって、x(u)=αcosu+βsinu=Ccos(u−θ) である。

ただし、C=√(α+β)、θ=tan−1(β/α) である。

よって、(★1)より、

証明 ( K=−1の場合 )

いま、(★3)より、x’’=x である。

よって、x(u)=αe+βe−u である。(★5)

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αβ=0 の場合について考える。

いま、x>0 である。(※定理で仮定している)

よって、αとβが同時に 0 になることはない。

つまり、αとβのどちらか一方のみが必ず 0 となる。

α=0 と仮定しても一般性を失わない。(※必要ならば u を −u に変換すればよい )

いま、x=βe−u ( β>0 ) である。

u−logβ を u に変数変換すると、x=e−u である。

また、(★1)より、z’=√(1−(x’)) である。

よって、



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αβ>0 の場合について考える。

いま、x>0 である。(※定理で仮定している)

よって、α>0、β>0 である。

よって、



u+(1/2)log(α/β) を u に変換すると、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

αβ<0 の場合について考える。

α>0、β<0 と仮定しても一般性を失わない。(※必要ならば u を −u に変換すればよい )

よって、



u+(1/2)log(|α/β|) を u に変換すると、



いま、x>0 である。(※定理で仮定している)

よって、u>0 である。

また、(★1)より、|x’|=Ccoshu≦1 である。

よって、0<C<1 である。

よって、