ガウス曲率の計算、平面、円柱面、楕円面、トーラス

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定義 ( 第1基本行列、第1基本量 )

φ:D→ を曲面とする。

E=φ・φ、F=φ・φ、G=φ・φ とおく。

次のように定める。



このとき、T を 『 第1基本行列 』 という。

また、E、F、G を 『 第1基本量 』 という。

定義 ( 曲面の向き )

φ(u、v) を曲面とする。

n(u、v)=φ×φ/|φ×φ|と定義する。

このとき、n を 『 φの向き 』 という。

むろん、n はφの単位法ベクトル場である。

定義 ( 第2基本行列 )

次のように定める。



ただし、

(*1) L=−φ・n=φuu・n

(*2) M=−φ・n=−φ・n=φuv・n

(*3) N=−φ・n=φvv・n

このとき、U を 『 第2基本行列 』 という。

証明

いま、φ と φ は n と直交する。

つまり、φ・n=0、φ・n=0 である。

よって、両辺を偏微分すると、(*1)〜(*3)を得る。

P1 ( 第1基本行列は正則行列である )

第1基本行列の行列式は正である。

証明

v、w∈ とおくと、



つまり、(v、v)(w、w)−(v、w)=|v×w| である。( これを 『 ラグランジュの恒等式 』 という )

よって、detT=EG−F=|φ×φ>0 である。

定義 ( ワインガルテン行列 )

W=(T−1U と定義する。(※P1)

このとき、W を 『 ワインガルテン行列 』 という。

P2 ( ガウス曲率の計算式 )

λ と λ を主曲率とする。

このとき、

補足

つまり、ガウス曲率は 「 第1基本量と第2基本量 」 で表される。

ちなみに、ガウス曲率を 「 第1基本量の2階微分まで 」 のみで表すこともできる。

数学者ガウスは、これを 『 驚異の定理 』 と名付けた。

(1)の証明

一般に、正方行列 A に対して|A−1|=|A|−1 である。

一方、



よって、定理の式が成り立つ。

(2)の証明

いま、



よって、定理の式が成り立つ。

(3)の証明

ワインガルテン行列は対称行列 T−1、U の積である。

よく知られているように、2次対称行列は、行列式1の行列で対角化できる。

むろん、対角化された行列の対角成分は、λ と λ である。

よって、detA=λλ である。

(4)の証明

(3)と同様である。

参考 ( 平面のガウス曲率 )

次のように定める。



このとき、K=0、H=0 である。

補足

ちなみに、ガウス曲率と平均曲率が同時に 0 となる曲面は平面のみである。

証明

いま、φ=(1、0、0)、φ=(0、1、0)、φuu=φuv=φvv=(0、0、0) である。

よって、E=1、F=0、G=1、L=M=N=0 である。

以上により、K と H を計算すればよい。

参考 ( 円柱面 )

次のように定める。



このとき、K=0、H=−1/2 である。

証明

いま、



また、



よって、E=1、F=0、G=1、L=−1、M=N=0 である。

以上により、K と H を計算すればよい。

参考 ( 球面の曲率 )

次のように定める。



このとき、K=1/r、H=1/r である。

証明

いま、



また、



よって、E=r、F=0、G=rcosu、L=r、M=0、N=rcosu である。

以上により、K と H を計算すればよい。

参考 ( 楕円面 )

次のように定める。



このとき、

証明

いま、



また、



ただし、



よって、



以上により、K と H を計算すればよい。

参考 ( トーラス )

次のように定める。



このとき、

証明

いま、



また、



よって、E=r、F=0、G=(R+rcosu)、L=r、M=0、N=(R+rcosu)cosu である。

以上により、K と H を計算すればよい。