線織面、可展面

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定義 ( 平坦曲面 )

ガウス曲率が恒等的に 0 となる曲面を 『 平坦曲面 』 という。

平坦曲面では局所的に正確な地図を作成できることが知られている。

つまり、E=G=1、F=0 となるパラメータを付けることができる。

一方、球面などはガウス曲率が 0 にならない。

つまり、曲面については正確な地図を作成することができない。

定義 ( 線織面 )

Γ(u) を空間曲線とする。

ξ(u) を、Γ(u) を始点とする滑らかなベクトル場とする。

φ:D→ を φ(u、v)=Γ(u)+vξ(u) で定める。

このとき、φを 『 線織面 』 という。

つまり、線織面とは、直線の運動から成る曲面である。

線織面は 「 せんしょくめん 」 または 「 せんしきめん 」 と読まれる。

定義 ( 可展面 )

線織面で、ガウス曲率が恒等的に 0 となるものを 『 可展面 』 という。

例えば、円柱面や円錐面は可展面である。

P1 ( 可展面の同値条件 )

φ(u、v)=Γ(u)+vξ(u) を線織面とする。

n をφの向きとする。

このとき、次は同値である。

(1) φは可展面である。

(2) ξ’(u)・n=0

(3) det(Γ’、ξ、ξ’)=0

証明

いま、φ=Γ’(u)+vξ’(u)、φ=ξである。

また、φuu=Γ’’+vξ’’、φuv=ξ’、φvv=0 である。

よって、M=φuv・n=ξ’・n、N=φvv・n=0 である。

よって、(EG−F)K=LN−M=−M=−(ξ’・n)≦0 である。

よく知られているように、第1基本行列の行列式は正である。

よって、EG−F>0 である。

よって、K≦0 であり、K=0 ⇔ ξ’・n=0 である。

一方、次のように計算できる。(※余因子展開)(★)



よって、ξ’・n=0 ⇔ det(Γ’、ξ、ξ’)=0 である。

(★)について補足

余因子展開より、u、v、w∈ に対して u・(v×w)=det(u、v、w) が成り立つことに注意。

P2 ( 可展面 ⇔ 錐面・柱面・接線曲面 )

次の線織面はいずれも可展面である。

(1) 錐面 : 1つの定点を通る直線族から成る曲面

(2) 柱面 : 平行な直線族から成る曲面

(3) 接線曲面 : 空間曲線 Γ(t) によってφ(u、v)=Γ(u)+vΓ’(u) と表される曲面

逆に、可展面は(1)〜(3)を滑らかに繋ぎ合せた形で表される。

証明

φ(u、v)=Γ(u)+vξ(u) を線織面とする。

|ξ(u)|=1 と仮定しても一般性を失わない。

いま、次は同値である。(※P1)

(*1) φは可展面である。

(*2) det(Γ’、ξ、ξ’)=0

(*3) 実数値関数 a(u)、b(u)、c(u) が存在して、a(u)Γ’(u)+b(u)ξ(u)+c(u)ξ’(u)=0 となる。

ただし、(*3)においてa(u)、b(u)、c(u) は同時には 0 にならないとする。

まず、ある区間で恒等的に a(u)=0 となる場合を考える。

いま、bξ+cξ’=0 である。

よって、b=0 である。(※ bξ+cξ’=0 とξの内積を考えればよい )

よって、cξ’=0 である。

いま、c≠0 である。(※ b と c は同時には 0 にならない )

よって、ξ’=0 である。

よって、ξは定ベクトルである。

よって、φは円柱面である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

逆に、φが円柱面であるとすると、ξ’=0 である。

よって、det(Γ’、ξ、ξ’)=0 である。

よって、φは可展面である。(※P1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、ある区間で a(u)≠0 となる場合を考える。

ξ(u) と ξ’(u) は1次従属であると仮定する。(背理法)

いま、(*3)より、Γ’(u) は ξ(u) に比例する。

また、φ=Γ’+vξ’、φ=ξ である。

よって、φ と φ は1次従属である。

これはφが正則曲面であることに矛盾する。

よって、ξ(u) と ξ’(u) は1次独立である。(★1)

いま、



(★1)より、b(u)/a(u) と c(u)/a(u) は一意に定まる。

ここで、次のようにおく。



いま、



また、



よって、(*3)より、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、ある区間で恒等的に d(u)=0 となる場合について考える。

いま、α(u) は一定である。

よって、φ(u、v)=p+β(u)ξ(u) と表せる。( ただし p=α(u) である )

つまり、φは点 p を頂点とする錐面である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、ある区間で、恒等的に d(u)≠0 となる場合について考える。

いま、α(u) は曲線である。

また、ξ は曲線 α(u) の接ベクトルに比例している。

よって、φは接線曲面である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

逆に、φは錐面であるとする。

いま、その頂点(定点)を Γ’(u)=0 と表すことができる。

よって、det(Γ’、ξ、ξ’)=0 である。

よって、φは可展面である。(※P1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

逆に、φが接線曲面であるとする。

いま、ξとΓ’は1次従属である。

よって、det(Γ’、ξ、ξ’)=0 である。

よって、φは可展面である。(※P1)