減衰振動、強制振動、共振、減衰系

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P1 ( 斉次2階線形微分方程式の一般解〜その1 )

y’’=−qy を斉次2階定数係数微分方程式とする。

その一般解は次のように表される。

(1) q=λ>0 ⇒ y=ccos(λx)+csin(λx)

(2) q=−λ<0 ⇒ y=cλx+c−λx

(3) q=0 ⇒ y=cx+c

証明

ここではこれを既知とする。

ただし、背景を説明しておこう。

まず、(1)の式に注目しよう。

これを y’’=−qy に代入すると、式が成り立つことを確認できる。

よって、たしかに、(1)は y’’=−qy の解であると分かる。

ところで、

「 (1)の条件で、y=ccos(λx)+csin(λx)以外の解は存在しないのだろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、問題はない。

なぜなら、「 解の存在と一意性 」 という定理が知られているからである。

簡単に言うと、これは 「 リプシッツ連続性が満たされれば、解の存在と一意性が保証される 」 という定理である。

そして、線形微分方程式はリプシッツ連続性を満たす。

よって、線形の解は一意である。

P2 ( 斉次2階線形微分方程式の一般解〜その2 )

y’’+py’+qy=0 を斉次2階定数係数微分方程式とする。

αとβを、(★)の特性方程式の解とする。

このとき、(★)の一般解は次のように表される。

(1) αとβが実数解でα≠β ⇒ y=cαx+cβx

(2) αとβが実数解でα=β ⇒ y=cαx+cxeαx

(3) α=a+bi、β=a−bi ⇒ y=eax(ccos(bx)+csin(bx))

証明

既知とする。

P3

y’’+py’+qy=R(x) を定数係数線形微分方程式とする。(★1)

y’’+py’+qy=0 を、斉次式とする。(★2)

を、(★1)の特殊解とし、y を(★2)の一般解とする。

このとき、(★1)の一般解は、y=y+y である。

証明

いま、y’’+py’+qy=(y’’+py’+qy)+(y’’+py’+qy)=R(x) である。

つまり、y は(★1)の解である。

また、y は2つの任意定数をもつ。

つまり、y は2つの任意定数をもつ。

つまり、y は(★1)の一般解である。

P4 ( 単振動〜水平バネ振り子 )

質量 m の物体とバネ定数 k のバネを水平につなげる。

バネが自然長であるときの物体の位置を原点とする。

このとき、

補足

A と B は初期条件 x(0) と x’(0) によって定まる。

実際、簡単に次が分かる。

補足

系を図示すると、

証明

運動方程式は、mx’’=−kx である。

明らかに、その一般解は、x=Acosωt+Bsinωt である。

P5 ( 減衰振動〜ダッシュポット付きのバネ系 )

質量 m の物体とバネ定数 k のバネを水平につなげる。

バネが自然長であるときの物体の位置を原点とする。

物体には、速度に比例する抵抗が作用するとする。

その比例定数を c とする。

次のようにおく。



このとき、

補足

A、B、C、D は、初期条件 x(0)、x’(0) によって定まる。

実際、簡単に次が分かる。



とくに、ξ=1の場合は、解は非周期的である。

補足

抵抗力としては、摩擦力、空気抵抗、(流体の)粘性抵抗などがある。

あるいは、下図のようにダッシュポットをつなげてもよい。

補足

x=e−ξω(Acospt+Bsinpt)について、右辺の()内は単振動を意味する。

その振動その振動数は p である。

また、e−ξω は振幅が指数関数的に減少することを意味する。

p を 『 減衰固有振動数 』 といい、ξ を 『 減衰比 』 という。

証明

いま、mx’’=−kx−cx’である。

これは2階線形微分方程式である。

その特性方程式は、mλ+cλ+k=0 である。

ここで、次のようにおく。



いま、λ+2ωλ+ω=0 である。

いま、ξ<1 であるから、λは複素数解である。

つまり、



よって、x=e−ξω(Acospt+Bsinpt)である。

証明 ( ξ=1の場合 )

むろん、これは P2 から分かる。

しかし、ここでは直接的に(*)を導いてみよう。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、ξ=1ではなくて、一般の場合について考える。

λ と λ を、特性方程式 mλ+cλ+k=0 の解とする。

すると、一般解は、x=Aeλ+Beλ である。

つまり、これは eλ と eλ を基本解として表したものである。

しかし、ここでは、eλ と eλ−eλ を基本解として採用して、次のようにおく。



λ=λ+δとおいて、δ→0 とすると、



また、証明(ξ<1の場合)の式より、ξ→1 で λ=−ω である。

P6 ( 不減衰系 )

質量 m の物体とバネ定数 k のバネを水平につなげる。

バネが自然長であるときの物体の位置を原点とする。

物体には外力 fsinωt が作用するとする。

このとき、



ただし、ω=√(k/m) である。

また、初期条件を x(0)=x’(0)=0 としている。

補足

ω=ω の場合を 『 共振 』 という。

ω≠ω の解において ω→ω とすると、c は無限大になる。

補足

図示すると、

補足

問題の微分方程式は mx’’+kx=fsinωt である。(★1)

一方、外力の代わりに、壁が左右に asinωt で振動する場合を考えてみよう。

いま、mx’’=−k(x−asinωt) である。(★2)

=f とおくと、(★1)と(★2)は同じである。

つまり、『 外力の振動 』 と 『 壁の振動 』 は本質的に同じである。

証明 ( ω≠ωの場合 )

いま、mx’’+kx=fsinωt である。(★1)

明らかに、その特殊解として Csinωt を採用できる。(★2)

よって、一般解は、x=Acosωt+Bsinωt+Csinωt である。(※P3)

(★2)を(★1)に代入すると、(−mω+k)Csinωt=fsinωt である。

よって、(−mω+k)C=f である。

いま、ω≠ω より、−mω+k≠0 である。

よってC=f/(k−mω) である。( もし、ω=ω とすると、C は無限大となる )

また、初期条件 x(0)=x’(0)=0 より、A=0、Bω+Cω=0 である。

以上により、

証明 ( ω=ωの場合 )

ω≠ω の場合で示したように、



ここで、ω=ω+Δω とおく。

すると、



つまり、

P7 ( 減衰系 )

質量 m の物体とバネ定数 k のバネを水平につなげる。

バネが自然長であるときの物体の位置を原点とする。

物体には外力 fsinωt が作用するとする。

物体には速度に比例する抵抗力が作用するとする。

その比例定数を c とする。

このとき、



ただし、



この α を 『 位相 』 という。

また、次のように表すこともできる。

補足

図示すると、

証明

いま、mx’’+cx’+kx=fsinωt である。

x=Asinωt+Bcosωt を特殊解と仮定する。

これを代入して解くと、



よって、x=Rsin(ωt+α)である。