ギブズ現象は「各点収束するが一様収束しない」代表例である

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注意 ( ギブズ現象 )

次のような周期2πの関数 f(x)を考える。



このとき、f(x)の第 N 部分和を図示すると、次のようになる。



このように、不連続点の傍で突起(極大点)が生じる。

このような現象を 『 ギブズ現象 』 という。

ギブズ現象によって生じるピークは、N→∞ としても消えることはない。

ただし、ピークの幅は限りなく小さくなり、ピークの位置は限りなく不連続点に近くなる。

しかし、「 ピークの幅は限りなく小さくなり、位置は不連続点に近づくのに、ピークが消えない 」 とはどういうことか?

f(x)のフーリエ級数はどのような形をしているのだろうか?

例えば、次の形のどちらであろうか?



先に結論を言えば 「 f のフーリエ級数は、右上の図に限りなく近くなる 」 である。

しかし、この表現を曖昧に感じる人も多いに違いない。

また、参考書ではこの辺りの説明が簡易的に済まされてしまうことが多い。

そこで、このページではギブズ現象に注目して詳しく議論する。

定義 ( 実フーリエ級数 )

f:[−L、L]→ をリーマン可積分関数とする。

このとき、次が成り立つ。



このとき、c を 『 f のフーリエ係数 』 という。

また、S[f] を 『 f の第N部分和 』 という。

また、limN→∞[f]を 『 f のフーリエ級数 』 という。

また、f=limN→∞[f] が成り立つとき、これを 『 f のフーリエ級数展開 』 という。

定義 ( 関数列 )

:I→ を関数とする。( つまり、各 n∈ に対し、関数 f が定まっている )

このとき、(fn∈ を 『 I 上の関数列 』 という。

定義 ( 各点収束 )

:I→ を関数とする。

x∈I を固定すると、(f(x))n∈ を実数列と見なせる。

任意の点 x∈I に対し、limn→∞(x)が存在するとする。

このとき、「(fn∈ は I 上で各点収束する 」 という。

いま、次のような写像 f を定義できる。



この f を 『(fn∈ の極限 』 という。

また、「(fn∈ は f に各点収束する 」 という。

各点収束を単に 「 収束 」 と呼ぶこともある。

定義 ( 一様収束 )

:I→ を関数とする。

f を I 上の関数とする。

さらに、次が成り立つとする。



次のように表しても意味は同じである。



このとき、「(fn∈ は f に一様収束する 」 という。

各点収束と一様収束の定義は見た目に似ているが、しっかり区別する必要がある。

各点収束の定義は 「 任意の点 x∈ I に対し、ある N∈ が存在して・・・」 である。

一様収束の定義は 「ある N∈ が存在して、任意の点 x∈ I に対し、・・・」 である。

一様収束は、関数全体が f ±εの範囲に収まるイメージで捉えると分かりやすいであろう。



参考

関数列が各点収束しても一様収束するとは限らない。

f、f:I→ を関数とする。

は f に各点収束するとする。

ここで、x∈I とおく。

定義(各点収束)より、



同様に、他の点 x、x、・・・∈I に対して、



ここから、f は f に一様収束すると結論できるであろうか?

実際、N=max{N、N、・・・}おけばよさそうに思える。

このようにおけば、n≧N ならば、任意の x∈I に対して|f(x)−f(x)|<εが成り立つ。

よって、一様収束であると結論できるのではないか?

ところが、そもそも N を上記のようにおくことができない。

なぜなら、N、N、・・・は無限個あるからである。

無限個の数から何の条件もなしに最大値を選ぶことはできない。

実際、ある点に近づくにつれて、N の値が限りなく大きくなる場合がある。

とくに、フーリエ解析の世界に登場する 『 ギブズ現象 』 がその代表例である。

定義 ( 滑らかな関数 )

f(x) を関数とする。

f’(x) が連続であるとする。( むろん、f は微分可能であるとする )

このとき、「 f は滑らかである 」 という。

つまり、『 滑らかな関数 』 は 「 つながっていて折り曲がっていない関数 」 を意味する。

定義 ( 区分的に連続な周期関数 )

f(x) を周期関数とする。

f(x) は1周期の間に有限個の不連続点をもつとする。

任意の不連続点 x に対し、f(x−0) と f(x+0) は有限の値をもつとする。

( むろん、f(x−0)=limx→x−0f(x)、f(x+0)=limx→x+0f(x) である )

このとき、「 f は区分的に連続である 」 という。

定義 ( 区分的に滑らかな周期関数 )

f(x) を周期関数とする。

f と f’ は区分的に連続であるとする。

このとき、「 f は区分的に滑らかである 」 という。

P1 ( 収束定理〜その1 )

f(x) を周期関数とする。

f(x) は区分的に滑らかであるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) S[f](x) は任意の点 x で収束する。

(2) S[f](x) は連続な点 x で f(x) に収束する。

(3) S[f](x) は不連続点 x で 2−1(f(x−0)+f(x+0)) に収束する。

証明

この定理の証明はフーリエ解析の1つのテーマであり、多くの準備が必要となる。

このページではギブズ現象に注目したいので、証明は省略する。

P2 ( 収束定理〜その2 )

f(x) を周期関数とする。

f(x) は区分的に滑らかであるとする。

f は連続であるとする。

このとき、S[f] は f に一様収束する。

証明

省略する。

P3 ( 収束定理〜その3 )

f(x) を周期関数とする。

f(x) は区分的に滑らかであるとする。

f は不連続点をもつとする。

I を、不連続点を端点としてもつ開区間とする。

I は不連続点を含まないとする。

このとき、S[f] は f に各点収束するが、一様収束しない。

証明

既に、各点収束することは述べた。(※P1)

一様収束しないことの証明は省略する。

ただし、簡単に言えば、一様収束しない理由はギブズ現象が発生するからである。

参考 ( 矛盾している? )

f(x) を周期関数とする。

f(x) は区分的に滑らかであるとする。

f(x) は不連続点をもつとする。

既に述べたように、次が成り立つ。

(1) S[f] は不連続点以外で f に収束する。

(2) 不連続点の近くにはギブズ現象が現れ、このピークは N→∞ でも消えない。

この2つは矛盾しているように視えるかもしれない。

しかし、矛盾はしていない。

なぜなら、ギブズ現象として現れる S[f] のピークは、N→∞ で不連続点に限りなく近くなるからである。

上記の主張は言葉通りの意味である。

しかし、この説明だけでは納得しづらい。

以下、さらに詳細に議論する。

参考 ( ギブズ現象を具体的に議論する )

次のような関数を考える。



このとき、





ここで、S[f] が極大または極小となる点を探そう。

dS[f](x)/dx=0 とおく。

すると、sin2Nx/sinx=0 である。

よって、x=kπ(2N)−1 である。( k は整数 )

つまり、不連続点 x=0 の右側にある第1のピークは、x=π(2N)−1 である。

そのピークの大きさは、



さらに、N→∞ とすると、



つまり、f(+0)=1 に比べて約18%の誤差が現れる。

むろん、これは N→∞ として得たものであるから、ピークがこれより小さくなることはない。

つまり、ギブズ現象によるピークの大きさは N→∞ で消えることはない。

むろん、ピークの位置 x=π(2N)−1 は、N→∞ で限りなく 0 に近づく。

参考 ( ギブズ現象に対するよくある誤解 )

再び、次の関数を考える。



おそらく、割と多くの人は、S[f] が次の形になると誤解する。



しかし、これは間違いである。

たしかに、不連続点以外で S[f](x)=f(x) となる。

また、不連続点では S[f](x)=2−1(f(x−0)+f(x+0)) となる。

しかし、ピークは残る。

つまり、実際には、関数 f のフーリエ級数は、次の形に限りなく近い。



ただし、やはり、これは直観的に難しい。

以下、Q&A形式で、この問題を考えてみよう。



結局、ギブズ現象によるピークはどこにあるのでしょう?



不連続点の近くです。

より詳しく言えば、不連続点に限りなく近い。



その 「 限りなく近い 」 というのは、具体的に値で述べることはできないのですか?



そうですね。

だから、非常に分かりづらい。



うーん・・・。

しかし、例えば、原点の右側にあるピークの位置は x=π(2N)−1 ですよね。

すると、x→0 ( N→∞ ) です。

よって、ピークは原点にあると言えるのでは?



実は、「 ピークの位置が x=π(2N)−1 である 」 という話を、そのまま極限にもってくることはできません。

これを確認するために、S[f] の計算を改めてここに書きます。



そして、極大・極小を求めるために、dS[f]/dx=0 とおきました。

しかし、x=0 では sin2Nx/sinx の分母は 0 です。

むろん、これは積分を考えるときには問題になりません。

しかし、「 ピークの位置はどこか? 」 という問題を考えるときには支障が出る。



なるほど・・・・。

しかし、P1によれば、S[f](x) は、連続な点 x で f(x) に収束します。

つまり、連続な点 x で S[f](x)=f(x) ですよね?

つまり、不連続点以外で S[f](x)=f(x) ですよね?

つまり、ピークが ( N→∞ で ) 消えるということになるのでは?



たしかに、連続な点 x で S[f](x)=f(x) です。

たしかに、不連続点以外で S[f](x)=f(x) です。

しかし、ピークが ( N→∞ で ) 消えるということにはなりません。

まず、S[f](x)=limN→∞[f](x) であることを思い出しましょう。

既に述べたように、S[f] は f に各点収束します。

ただし、ピークは限りなく不連続点に近づく。

つまり、不連続点の限りなく近くでは、いつまで経っても S[f](x) が f に収束しない。



「 いつまで経っても収束しない 」???

それはおかしいのでは?

実際、P1では、連続な点 x で S[f](x) は f(x) に収束すると書いてありますよ?



たしかに、S[f](x) は f(x) に収束します。

しかし、収束するまでに無限の時間がかかる。



まるで 『 アキレスと亀のパラドクス 』 ですね。

しかし、ちょっと待ってください。

いま、「 無限の時間がかかる 」 と言いましたよね?

その 「 時間 」 とは何のことですか?

いまは数学の議論であって、物理ではないので、時間は関係ないはず・・・。



そうですね。

ここでの 「 時間 」 という表現は比喩的なものです。

正確に言えば、不連続点以外の区間で S[f] は f に一様収束しないという意味です。

既に述べたように、不連続点以外で、S[f](x) は f(x) に収束します。

つまり、連続な点 x に対し、次が成り立つ。

(*) 任意の ε>0 に対し、ある番号 N が存在して、N≧N ⇒|f(x)−S[f](x)|<εとなる。

一方、既に述べたように、点 x が不連続点に近づくと、ピークは限りなく不連続点に近づく。

つまり、点 x が不連続点に近づくと、対応する番号 N が限りなく大きくなる。

つまり、S[f](x) は f(x) に収束するが、収束するまでに無限の時間がかかる。

この 「 収束するけど収束しない 」 という表面的な矛盾が入門者を迷わせる。


ええと・・・そもそも、各点収束と一様収束の違いがよく分からないのですが・・・。



そこがすべての元凶ですね。

εN論法、各点収束、一様収束に慣れていないと、意味が通じなくなってしまう。

この部分は、しっかりと定義を確認するなどして、自分で理解しないといけません。

参考 ( ギブズ現象 と sin(1/x) は直観的に捉えづらいことで似ている )

ギブズ現象の話が難解であることは、f(x)=sin(1/x) の難しさに似ているかもしれない。

明らかに、f(x)=sin(1/x) は原点近くで無限回振動する。

ここで、

「 原点の最も近くにあるピークはどこにあるか? 」

・・・という問題に答えることは難しい。

やはり、

「 原点の限りなく近くである 」

・・・と答える他ない。

つまり、この問題はギブズ現象の場合と全く同じである。

ただし、f(x)=sin(1/x) の方が少し直観的には分かりやすい。

なぜなら、

「 とにかく、f(x)=sin(1/x) は振動しているのだな 」

「 とにかく、原点に近づくと、ピークが次々と現れるのだな 」

・・・という具合に納得できる。

一方、ギブズ現象の場合は、原点にいくら近づいてもピークが現れない。

ピークが現れないのに 「 ピークは残っている 」 と説明されるのでワケが分からなくなる。

定義 ( 平均収束 )

f:[−L、L]→ をリーマン可積分関数とする。

次が成り立つとする。



このとき、「 S[f] は f に平均収束する 」 という。

P4 ( 区分的に滑らかならば平均収束する )

f(x) を周期関数とする。

f(x) は区分的に滑らかであるとする。

このとき、S[f] は f に平均収束する。

補足

この定理は f が不連続点をもつ場合にも成り立つことに注意。

もしかしたら、

「 ギブズ現象によるピークが N→∞ で残るから平均収束しないのでは? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、ピークの幅は N→∞ で 0 に限りなく近づく。

そして、平均収束は積分で定義されている。

よって、ギブズ現象は平均収束に影響しない。

証明

省略する。

参考 ( まとめ : 各点収束、一様収束、平均収束 )

f(x) を周期関数とする。

f(x) は区分的に滑らかであるとする。

ここまでの議論をまとめると、

(1) f が不連続点 x で f(x)=2−1(f(x−0)+f(x+0)) を満たすならば、S[f] は f に各点収束する。

(2) f が連続ならば、S[f] は f に一様収束する。

(3) S[f] は f に平均収束する。( 不連続点での値は何でもよい )

明らかに、(2)の場合、f はフーリエ級数展開可能であると言える。

一方、(1)の場合はどうであろうか?

既に定義したように、このページでは S[f]=f が成り立つ場合をフーリエ級数展開可能と呼ぶことにしている。

しかし、(1)ではギブズ現象が発生するので、この定義だけでは明確に判断できない。

この意味で、フーリエ級数展開可能性という言葉は意味を失う。

つまり、各点収束、一様収束、平均収束という言葉が有用であることが分かる。

既に述べたように、フーリエ級数や平均収束の定義には 『 積分 』 が用いられている。

このページでは積分としてリーマン積分(通常の積分)を用いた。

実は、これを 『 ルベーグ積分 』 に広げて議論することもできる。