「ガウスの定理(ガウスの発散定理)」の証明、「ストークスの定理」の証明

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参考 ( 概要 )

ガウスの発散定理を証明するためには 『 流束(面積分)』 と 『 発散(div) 』 を準備する必要がある。

ストークスの定理を証明するためには 『 循環(閉曲線の線積分)』 と 『 回転(rot) 』 を準備する必要がある。

そこで、まずはこれらの概念を準備しょう。

ちなみに、ガウスの発散定理とストークスの定理の証明は似ている。

ガウスの発散定理は閉曲面を分割することで証明される。

ストークスの定理は閉曲線を分割することで証明される。

これらについては以下で詳しく議論する。

定義 ( ベクトル場〜その1 )

A を の部分集合とする。

任意の点 p∈A に対し、点 p を始点とする 3 次元ベクトルを対応させる。

このような写像を 『 3次元ベクトル場 』 という。

定義 ( ベクトル場〜その2 )

A を の部分集合とする。

F:A→ を写像とする。

このような写像を 『 3次元ベクトル場 』 という。

注意

明らかに、定義(ベクトル場〜その1) と 定義(〜その2) は本質的に同じである。

定義 ( 曲面の単位法ベクトル場 )

S を 内の曲面とする。

:S→ をベクトル場とする。

任意の (x、y、z)∈S に対し、ベクトル n(x、y、z) は S の面に対して垂直であり、単位ベクトルであるとする。

このとき、n を 『 単位法ベクトル場 』 という。

ただし、単位法ベクトル場は、曲面の片面に向きが揃っているとする。

図示すると、

定義 ( 曲線の単位接ベクトル場 )

C を 内の曲線とする。

T:C→ をベクトル場とする。

任意の (x、y、z)∈S に対し、ベクトル T(x、y、z) は C の接線であり、単位ベクトルであるとする。

このとき、T を 『 C の単位接ベクトル場 』 という。

定義 ( 流束 )

(r) をベクトル場とする。

つまり、各位置 r にベクトル v が分布している。

まず、v に垂直な微小面積 ΔS を貫くとする。

このとき、|v|ΔS を 『 ΔSを貫く流束 』 という。

例えば、v=j ( 電流密度 ) とすると、|j|ΔS は ΔS を貫いて流れる電流の大きさを意味する。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、曲面 S 上での流束を定義しよう。

一般に、ベクトル場 v は曲面 S に垂直ではない。



そこで、v=v+v// と分解しよう。

ただし、v は v の法線成分(曲面Sに垂直な成分)である。

ただし、v// は v の接線成分(曲面Sに接する成分)である。

とくに、接線成分は流束に寄与しない。

よって、法線成分のみに注目すればよい。

つまり、曲面上の微小面積を貫く流束は|v|ΔS である。

ここで、曲面 S の単位法ベクトル場を n と表す。

つまり、n の大きさは1であり、各位置 r において n(r) は曲面 S に垂直である。



ここで、1つの位置 r を選んで注目しよう。

いま、|v|=v・n と表せる。



つまり、v は v の n への正射影として表せる。

結局、微小面積 ΔS を貫く流束は (v・n)ΔS と表せる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ここで、曲面 S を N 個に分割し、番号 i=1、・・・、N を付ける。

すると、曲面の湾曲は無視できるようになる。

よって、曲面 S 全体の流束は次のように表される。



これを積分記号で表すと、



これを 『 曲面 S を貫く流束 』 という。

上記のような積分を 『 面積分 』 という。

上では茶碗型の曲面を想定したが、これを閉曲面としてもよい。

定義 ( 循環 )

例えば、下図のように渦を巻いたベクトル場を考える。



このような渦巻きの度合いを定量的に表す方法を考える。

そのために、任意の閉曲線 C を考える。

閉曲線 C を微小な線分 Δs ( i=1、・・・、N ) に分割する。

ベクトル場のベクトルを v=v+v// に分割する。

ただし、v は曲線 C に対する v の法線成分である。

また、v// は曲線 C に対する v の接線成分である。

いま、v は渦巻きに寄与しない。

つまり、v// のみを考えればよい。

つまり、渦巻きの度合いは次のように表される。



ここで、Δs は、閉曲線の変位 Δr=ri+1−r として表せる。



すると、先ほどの式は次のように表せる。



これを積分記号で表すと、

定義 ( 勾配 )

φ(x、y、z)をスカラー場(3変数実数値関数)とする。

次のように定義する。



∇φ を gradφ と表すことも多い。

このとき、∇φ を 『 φの勾配 』 という。

つまり、∇φはベクトル場である。

参考 ( ∇φの物理的意味 )

∇φ は、その名前の通り、φの勾配を表している。

例えば、φ(x、y、z)=x+3y+z とおく。

このとき、∇φ=(2x、3、1)である。

2次元スカラー場(2変数実数値関数)で考えるとさらに分かりやすいだろう。

例えば、φ(x、y)=x+3y とおく。

このとき、∇φ=(2x、3)である。

x 軸方向へ進むと、φの x 軸方向への傾きが増加していくことが分かる。

一方、y軸方向への傾きはつねに一定である。

定義 ( 発散 )

(x、y、z)を3次元ベクトル場(3変数3次元ベクトル値関数)とする。

=(v、v、v)とおく。

次のように定義する。



∇・v を div(v) と表すことも多い。

このとき、∇・v を 『 vの発散 』 という。

参考 ( ∇・vの物理的意味 )

∇・v は、湧き出しを表している。

例えば、3次元空間の中に、ホースの出口だけがある場合を考えよう。

そして、ホースから水を撒き散らす。

∇・v は、この水量の増大率を意味する。

例えば、v(x、y、z)=(x、3y、z)とおく。

これはベクトル場であることに注意しよう。

空間の各点にベクトルが張り付いている状況である。

いま、∇・v=2x+3+1=2x+4 である。

つまり、この点において、それだけ水が湧き出しているということである。

では、川のように、一定に流れる場合はどうなのか?

例えば、v(x、y)=(2、3)とおく。

つまり、無限の彼方から(2、3)で水が流れている。

いま、∇・v=0 である。

ただ流れているだけなので、水の湧き出しがない。

定義 ( 回転 )

(x、y、z)をベクトル場(3変数3次元ベクトル値関数)とする。

=(v、v、v)と表せる。

次のように定義する。



∇×v を rotv と表すことも多い。

このとき、∇×v を 『 vの回転 』 という。

微分に注目すれば、y→z、z→x、x→y で回転していることが分かる。

参考 ( ∇×v 物理的意味 )

∇×v は、名前の通り、vの回転を表している。

例えば、定義式の右辺の第3成分に注目しよう。

∂v/∂x は、左回転する強さを意味する。

∂v/∂y は、右回転する強さを意味する。

図示すると、



結果として、∂v/∂x−∂v/∂y は z 軸まわりに v がどちらに回転するかを意味する。

P* ( ガウスの発散定理 )

(r)をベクトル場とする。

S を閉曲面とする。

(r)を S の法ベクトル場とする。

このとき、

証明

閉曲面 S を分割し、2つの曲面 S と S を考える。

いま、S と S は閉曲面ではない。

しかし、それぞれに切り口に相当する境界面 Sab を合わせれば、閉曲面となる。

つまり、S=S+Sab、S=S+Sab は閉曲面である。



いま、n=−n である。

また、





よって、(*1)と(*2)の和は、



つまり、任意の閉曲面の流束は、その閉曲面を分割した2つの閉曲面を貫く流束の和に等しい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、閉曲面 S を N 個の微小な立方体閉曲面 S ( i=1、・・・、N ) に分割する。

を貫く流束は立方体の6つの面(A、B、C、D、E、F)を貫く流束の和である。

つまり、





まず、2つの面 S と S を貫く流束を考える。

=(v、v、v)とおく。

=(−1、0、0)、n=(1、0、0)とおく。

いま、微小な立方体を考えているので、各面上ではベクトルは一意であるとしてよい。

そこで、面 A 上のベクトルを v(A)=v(x、y、z)とする。

また、面 B 上のベクトルを v(B)=v(x+Δx、y、z)とする。

( 面 A 上で v(x、y+Δy、z+Δz)を採用する場合、面 B 上で v(x+Δx、y+Δy、z+Δz)を採用する )

( 実際、いずれの場合でも以下の計算で同じ結果を得る )

いま、S の面積は ΔyΔz である。

よって、



また、



よって、



同様に、





(*3)に(*4)〜(*6)を代入すると、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

既に示したように、閉曲面を貫く流束は、2個に分割された閉曲面を貫く流束の和に等しい。

これは N 個の分割に対しても成り立つ。

よって、

P* ( ストークスの定理 )

(r)をベクトル場とする。

C を閉曲線とする。

S を C を縁としてもつ曲面とする。

このとき、

補足

図示すると、

証明

閉曲線 C を分割し、2つの曲面 C と C を考える。

いま、C と C は閉曲線ではない。

しかし、それぞれに切り口に相当する境界線 Cab を合わせれば、閉曲線となる。

つまり、C=C+Cab、C=C+Cab は閉曲線である。



いま、dr=−dr である。

また、





よって、(*1)と(*2)の和は、



つまり、任意の閉曲線に沿う循環は、その閉曲線を分割した2つの閉曲線に沿う循環の和に等しい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、閉曲線 C を N 個の微小な四角形閉曲線 C ( i=1、・・・、N ) に分割する。

( ただし、以下で得られる結果は四角形以外の場合にも適用できる )

に沿う循環は四角形の4辺(A、B、C、D)に沿う線積分の和である。

つまり、





まず、線分 A、B に沿う線積分を考える。

=(v、v、v) とおく。

いま、微小な四角形を考えているので、各線部上でベクトルは一定であるとしてよい。

そこで、線分 A 上のベクトルを v(A)=v(x、y、z) とする。

また、線分 B 上のベクトルを v(B)=v(x、y+Δy、z) とする。

いま、線分 A と線分 B の長さは Δx である。

よって、





よって、



線分 C、D に対しても同様に次が成り立つ。(符合に注意)



(*3)に、(*4)と(*5)を代入すると、



つまり、上式は ∇×v の z 成分である。

上では xy 平面上で面積 ΔxΔy の四角形を考えた。

同様の議論を yz 平面上、zx 平面上で行うと、





ΔxΔy、ΔyΔz、ΔzΔx はそれぞれ xy 平面、yz平面、zx平面の面積である。

よって、上記の結果は 「 任意の向きをもつ微小な面 」 に対して次が成り立つことを意味する。



既に示したように、閉曲線に沿う循環は2個に分割された閉曲線に沿う線積分の和に等しい。

これは N 個の分割に対しても成り立つ。

よって、