ベクトル解析の三大定理

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参考

グリーンの定理、ストークスの定理、ガウスの定理は 『 ベクトル解析の三大定理 』 である。

P1 ( グリーンの定理 )

Ω を の領域とする。

∂Ω は区分的に C 級な曲線であるとする。

D を領域とする。

Ω⊂D であるとする。

f、g:D→ を C 級関数とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

まず、∂D は y 軸に平行な直線と3点以上で交わらない場合を考える。(★1)

いま、∂D に接する y 軸に平行な直線は2つだけ存在する。

その接点の x 座標を a、b とする。

いま、∂D を次の2つの曲線に分けることができる。

(*1) Γ : y=φ(x)

(*2) Γ : y=φ(x)

ただし、Γ と Γ の向きは下図のようにとる。



いま、



次に、∂D が y 軸に平行な直線と3点以上で交わる場合を考える。(★2)

(★2)は(★1)に帰着できる。

例えば、下図のように分ければよい。



Γ と Γ の積分は打ち消し合う。

よって、計算結果は同じである。

以上では、f と y 軸について議論した。

同様のことを g と x 軸に対して議論すると、



よって、

P2 ( ストークスの定理 )

S を 内の曲面とする。

∂S は単純閉曲線であるとする。

T:∂S→ を ∂S の接ベクトル場とする。

F:S→ を C 級ベクトル場とする。

N:S→ を外向きの法線ベクトル場とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

図示すると、

証明

次を示せばよい。



曲面 S は z 軸と平行な直線と2点以上で交わらないとする。

( そうでない場合はグリーンの定理の説明と同様に図形を分割すればよい )

いま、曲面 S はグラフ曲面であるとしてよい。

つまり、曲面 S を φ(x、y)=(x、y、f(x、y)) の形で表せる。

を S の xy 平面への正射影とする。

いま、∂S は ∂S の xy 平面への正射影である。

いま、S はφの定義域である。

また、変数変換公式より、



また、この変換による定義域 S の変換を S とする。

よって、グリーンの公式、合成関数の微分より、



同様の計算を、∫∂Sdy と∫∂Sdz に行うことで(*)を得る。

P3 ( ガウスの発散定理 )

V を の領域とする。

∂V は閉曲面であるとする。

F を C 級ベクトル場とする。

N:∂V→ を外向きの法線ベクトル場とする。

このとき、

証明

つまり、次を示せばよい。



∂V は z 軸と平行な直線と3点以上で交わらないとする。

D を、∂V の xy 平面への正射影とする。

Γを、∂V上の閉曲線とする。

ただし、Γの正射影は ∂D に一致するとする。

このとき、∂V は下半分 S:z=φ(x、y)、上半分 S:z=φ(x、y)に分けられる。



また、



いま、S 上では N は z 軸と鈍角をなす。

また、S 上では N は z 軸と鋭角をなす。

よって、次が成り立つ。



よって、



同様の計算を F や F に行えば、(*)を得る。