微分方程式の解の存在と一意性、リプシッツ条件、グロウンウォールの不等式

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定義 ( 行列のノルム )

A=(aij) を n 次行列とする。

次のように定義する。



このとき、|| A || を 『 A のノルム 』 という。

参考 ( シュワルツの不等式 )

x=(x、・・・、x)、y=(y、・・・、y) とおく。

このとき、(x、y)≦|| x |||| y || である。

つまり、(1≦k≦n1≦k≦n1≦k≦n である。

P1

A、B を n 次行列とする。

x を n 次元列ベクトルとする。

このとき、次の(1)、(2)が成り立つ。

(1) || Ax ||≦|| A |||| x ||

(2) || AB ||≦|| A |||| B ||

(1)の証明

x=(x、・・・、x)とおく。

シュワルツの不等式より、

(2)の証明

(1)と同様である。

P2

I=[a、b] を区間とする。

f:I→ を連続関数とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

f(t)=(f(t)、・・・、f(t))とおく。

いま、



つまり、∫f(t)dt はベクトルである。

よって、ノルム ||∫f(t)dt || を考えることができる。

補足

微分積分学では実数値関数 f(t)について|∫f(t)dt|≦∫|f(t)|dt がよく知られている。

今回の定理は、この一般化である。

証明

いま、f(t)は連続である。

よって、|| f(t)|| は連続である。(※ノルムの連続性)

よって、|| f(t)|| はリーマン積分可能である。(※微分積分学)

Δ:a=t<t<・・・<t=b を I の分割とする。

3角不等式より、



よって、次が成り立つ。(※ノルムの連続性)

復習 ( ヤコビ行列〜その1 )

f:D→ を C級関数とする。( D は の開集合であるとする )

次のように定義する。



このとき、∂f/∂x を 『 f のヤコビ行列 』 という。

また、その行列式 det(∂f/∂x) を 『 f のヤコビ行列式 』 という。

また、a∈D に対し、次のように表す。

むろん、∂f/∂x は関数である。

つまり、∂f/∂x:U→M(n、n)と見なせる。( ただし、M(n、n)は n×n 行列全体である )

復習 ( ヤコビ行列〜その2 )

f:D→ を C級関数とする。( D は × の開集合である )

f(x、y)=f(x、・・・、x、y、・・・、y)と見なす。

次のように定義する。



∂f/∂x を 『 x に関する f のヤコビ行列 』 という。

∂f/∂y を 『 y に関する f のヤコビ行列 』 という。

むろん、×m+n である。

定義 ( リプシッツ連続 )

D を n+1 の領域とする。( 閉領域でもよい )

f:D→ を連続関数とする。

ある定数 L>0 が存在して、次を満たすとする。

(*) 任意の(t、x)、(t、y)∈D⊂× に対し、|| f(t、x)−f(t、y)||≦L|| x−y || となる。

このとき、「 f は D 上で x に関してリプシッツ連続である 」 という。

ただし、(t、x)∈× と見る。

むろん、リプシッツ連続性は、連続性よりも強い条件である。

定義 ( 集合の凸性 )

D を n+1 の有界な閉領域とする。

任意の(t、x)、(t、y)∈D を結ぶ線分が D に含まれるとする。

このとき、「 D は x に関して凸である 」 という。

P3 ( 凸な有界閉領域 ⇒ リプシッツ連続 )

f:D→ を連続関数とする。( D は n+1 の有界な閉領域であるとする )

(t、x)∈× と見て、D は x に関して凸であるとする。

f(t、x)は x に関して C級であるとする。

このとき、f は x に関してリプシッツ連続である。

証明

f=(f、・・・、f)とする。

(t、x)、(t、y)∈D とおく。

Γ(s)=sx+(1−s)y (0≦s≦1)とおく。

いま、(t、Γ(s))∈D である。(※ D は x に関して凸である)

よって、次が成り立つ。(※微分積分の基本定理、合成関数の微分)



よって、



ここで、∂f/∂x は f の x に関するヤコビ行列である。(※定義:ヤコビ行列〜その2)

いま、∂f/∂x は(t、x)に関して連続な行列値関数である。(※ f(t、x) は x に関して C級 )

よって、そのノルム || ∂f/∂x || も連続である。(※ノルムの連続性)

よって、D上で || ∂f/∂x || の最大値が存在する。(※最大値の定理)

そこで、この最大値を L とおく。

いま、次が成り立つ。(※P2)



よって、f は x に関してリプシッツ連続である。

P4 ( グロウンウォールの不等式 )

I を の区間とする。

f、g、h∈C(I)とおく。( つまり、f、g、h を I 上の連続関数とする )

任意の t∈I に対し、g(t)≧0 であるとする。

次が成り立つとする。



このとき、次が成り立つ。



とくに、f(t)=C (定数)であるとき、次が成り立つ。



これを 『 グロウンウォールの不等式 』 という。

(1)の証明

次のようにおく。



いま、H’(t)=g(t)h(t)である。

また、h(t)≦f(t)+H(t)である。(★)

いま、g(t)≧0 である。

よって、H’(t)−g(t)H(t)≦g(t)f(t)である。

よって、



いま、H(a)=0 である。

よって、上式の両辺を積分すると、



よって、(★)より、

(2)の証明

いま、



よって、(1)より、

P5 ( リプシッツ連続ならば、解の存在と一意性が保証される )

、r>0 とする。

D={(t、x)∈×;|t−t|≦r、|x−x|≦r }とおく。

f:D→ を連続関数とする。

f は x に関してリプシッツ連続であるとする。

次のような連立常微分方程式を考える。



成分毎に書けば次のようになる。



このとき、(*)の解 x=x(t)が一意に存在して、次を満たす。

(1) x=x(t

(2) x=x(t)は区間 I=[t−α、t+α]上で定義されている。

(3) x[t−α、t+α]⊂D

(4) f が D 上で(t、x)に関して C級ならば、解 x(t)は I 上で Cr+1級である。

ただし、α=min(r、r/M)、M=max(t、x)∈D|| f(t、x)|| である。

補足

この定理ではリプシッツ条件を仮定した。

既に述べたように、リプシッツ条件は連続性よりも強い条件である。

実は、解の存在だけならば、条件を弱めて f の連続性を仮定するだけでも示せる。

これは 『 コーシー・ペアノの定理 』 として知られている。

この証明には 『 コーシーの折れ線法 』 という方法が用いられる。

補足

(1)は x=x(t)が(t、x)∈D を通るという意味である。

(3)は x=x(t)のグラフが D に含まれるということである。

(2)から分かるように、x の定義域の範囲は決まっている。

この解をどのようにどこまで延長できるか、という問題は常微分方程式の基礎である。

証明 ( 解の存在 )

( ピカールの逐次近似法という方法を用いて示す )

明らかに、次の(*1)、(*2)は同値である。



そこで、(*2)を満たす x(t)が存在することを示せばよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次のように定義する。



上記の x (m=0、1、2、・・・)が次を満たすことが示されたとする。

(**1) x(t)∈C(I、

(**2) (t、x(t))∈D ( t∈I )

(**3) x(t)は区間 I 上で、ある x(t)に一様収束する。

いま、仮定より、f はリプシッツ連続である。

よって、|| f(s、x(s))−f(s、x(s))||≦L|| x(s)−x(s) || である。(★)

いま、x は x に一様収束するから、(★)より、f(s、x(s))も f(s、x(s))に一様収束する。

よって、



よって、x(t)∈C(t、)である。

つまり、(**1)〜(**3)を示せば、(*2)を満たす x(t)の存在が示されたことになる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以下、(**1)〜(**3)を満たすことを示す。

明らかに、x(t)は(**1)を満たす。

よって、x(t)は(**2)を満たす。(※α=min(r、r/M))

つまり、f(t、x(t))は t∈I で意味をもつ。

( f の定義域は D であるから、ここから外れると意味を失う )

次に、x(t)が(**1)と(**2)を満たすとする。(数学的帰納法)

いま、f は積分可能である。(※微分積分学)

( 連続関数が積分可能であることは微分積分学でよく知られている )

また、xm+1(t)∈C(I、)である。

また、α、M の定義に注意すると、次が成り立つ。(※P2)



よって、(t、xm+1(t))∈D である。

よって、xm+1(t)は(**2)を満たす。

以上により、任意の m=0、1、2、・・・に対し、x(t)は(**1)、(**2)を満たすことが示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、x(t)が(**3)を満たすことを示す。

いま、f はリプシッツ連続である。

よって、ある L>0 が存在して、



いま、|| x(t)−x(t)||≦M(t−t)である。(※既に示した)

よって、



さらに、帰納的に、



よって、p>q に対し、



よく知られているように、e0≦m≦∞/m!である。(※マクローリン展開)

よって、



よって、



( つまり、上に有界である )

よって、次が成り立つ。(※微分積分学)



( q→∞ のとき、p→∞ と考えてよい )

つまり、x(t)は I 上で一様収束する。

これで(**3)が示された。

証明 ( 解の一意性 )

既に上でも扱ったように、明らかに、次の(*1)、(*2)は同値である。



そこで、(*2)を満たす x(t)が一意であることを示せばよい。

x(t)、y(t)を(*2)の解とする。

両辺を引くと、



いま、f はリプシッツ連続である。

よって、ある L>0 が存在して、次を満たす。(※P2)



ここで、maxt∈I|| x(t)−y(t)||=M とおく。

いま、|| x(t)−y(t)||≦M|t−t|である。

よって、(*)より、



よって、帰納的に、



n→∞ とすると、上式の右辺は 0 に収束する。

よって、x(t)=y(t)である。

( ちなみに、最後の部分はグロウンウォールの不等式を用いて証明することもできる )