行列指数関数の対称性、直交性、エルミート性、ユニタリ性

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参考 ( 概要 )

このページでは次のことを示す。

(1) 「 A は対称行列 」 ⇔ 「 expA は対称行列 」

(2) 「 A は交代行列 」 ⇔ 「 expA は直交行列 」

(3) 「 A はエルミート行列 」 ⇔ 「 expA はエルミート行列 」

(4) 「 A は反エルミート行列 」 ⇔ 「 expA はユニタリ行列 」

(5) 「 A は交代行列 」 ⇒ 「 expA は特殊直交行列 」

(6) 「 A は trA=0 を満たす反エルミート行列 」 ⇒ 「 expA は特殊ユニタリ行列 」

以下の議論では 「 群 」 という言葉を用いる場面がある。

ただし、群論の知識は不要である。

ここでは 「 群と呼ばれる集団があるのだな 」 という認識で十分である。

定義 ( 行列指数関数 )

X を n 次複素行列とする。

次のように定義する。



これを 『 行列指数関数 』 という。

よく知られているように、指数関数 exp(x) は次のように表される。



今回の定義はこれの行列バージョンである。

定義 ( 対称行列、交代行列 )

=A を満たす行列を 『 対称行列 』 という。

=−A を満たす行列を 『 交代行列 』 という。

明らかに、交代行列の対角成分はすべて 0 である。

交代行列を 『 反対称行列 』 と呼ぶことも多い。

定義 ( 直交行列 )

−1A を満たす行列を 『 直交行列 』 という。

n次直交行列全体は群である。

この群を 『 直交群 』 といい、O(n)と表す。

O は orthogonal (直交性) に由来する。

行列式が+1 となる n 次直交行列全体は群である。

この群を 『 特殊直交群 』 といい、SO(n)と表す。

この S は special (特別) に由来する。

定義 ( ユニタリ行列 )

−1=A を満たす行列を 『 ユニタリ行列 』 という。

ただし、A はエルミート共役であり、「 A の複素共役の転置 」 を意味する。

n次ユニタリ行列全体は群である。

この群を 『 ユニタリ群 』 といい、U(n)と表す。

むろん、U(1)は exp(iθ)全体である。

n次ユニタリ行列で、行列式+1となるもの全体は群である。

この群を 『 特殊ユニタリ群 』 といい、SU(n)と表す。

定義 ( エルミート行列 )

=A を満たす行列 A を 『 エルミート行列 』 という。

=−A を満たす行列 A を 『 反エルミート行列 』 という。

P1 ( トレースの性質 )

次が成り立つ。

(1) tr(AB)=tr(BA)

(2) tr(PAP−1)=trA

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

(1)より、tr(PAP−1)=tr(P−1PA)=trA である。

P2 ( 行列指数関数の性質 )

(1) exp(A)=(expA)

(2) exp(A)=(expA)

(3) exp(PAP−1)=P(expA)P−1

(1)の証明

いま、(A)=(Ak−1A)=(Ak−1)=・・・=(A) である。

よって、(expA)=exp(A)である。(※定義:行列指数関数)

(2)の証明

(1)と同様である。

(3)の証明

いま、(PAP−1=(PAP−1)・・・(PAP−1)=PA−1 である。

よって、exp(PAP−1)=P(expA)P−1 である。(※定義:行列指数関数)

P3

A を対角化可能行列とする。

このとき、det(expA)=exp(trA)である。

証明

まず、A が対角行列である場合について考える。

A=diag(a、a、a)とおく。

つまり、



いま、



よって、det(expA)=exp(trA)である。

つまり、対角行列の場合について定理が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、A は対角化可能行列であるとする。

いま、ある正則行列 P が存在して PAP−1 は対角行列となる。

よって、次のように計算できる。(※P2)



一方、



よって、



また、次が成り立つ。(※P1:トレースの性質)



よって、det(expA)=exp(trA)である。

参考 ( 項別微分〜微積ver )

次のように(実係数の)巾級数による関数を定義する。



むろん、関数は巾級数が収束する範囲で定義されているとする。

このとき、f(x)は微分可能である。

また、

これは微分積分学でよく知られている定理である。

参考 ( 項別微分〜行列ver )

次のように(行列係数の)巾級数による関数を定義する。



むろん、関数は巾級数が収束する範囲で定義されているとする。

このとき、F(x)は微分可能である。

また、

A が n 次行列であるならば、参考(項別微分〜微積ver)を n 個並べるだけである。

P4 ( 行列指数関数の微分 )

F(t)=exp(tX)とおく。

このとき、F(t)は微分可能である。(※参考:項別微分〜行列ver)

また、次が成り立つ。

(1) F’(t)=XF(t)=F(t)X

(2) exp(−tX)=(exp(tX))−1

(1)の証明

次のように計算できる。(※参考:項別微分〜行列ver)

(2)の証明

明らかに、一般に、(F(t)G(t))’=F’(t)G(t)+F(t)G’(t)である。

よって、(1)より、(F(−t)F(t))’=−F’(−t)F(t)+F(−t)F’(t)=−XF(−t)F(t)+XF(−t)F(t)=O である。

つまり、F(−t)F(t)=C (定行列) である。

t=0 とすると、C=I (単位行列) である。

よって、exp(−tX)exp(tX)=I である。

P5 ( 行列と行列指数関数の関係 )

次が成り立つ。

(1) 「 A は対称行列 」 ⇔ 「 expA は対称行列 」

(2) 「 A は交代行列 」 ⇔ 「 expA は直交行列 」

(3) 「 A はエルミート行列 」 ⇔ 「 expA はエルミート行列 」

(4) 「 A は反エルミート行列 」 ⇔ 「 expA はユニタリ行列 」

(5) 「 A は交代行列 」 ⇒ 「 expA は特殊直交行列 」

(6) 「 A は trA=0 を満たす反エルミート行列 」 ⇒ 「 expA は特殊ユニタリ行列 」

補足

(5)と(6)は他と矢印の形が異なることに注意。

(1)の証明

A が対称行列であると仮定する。

いま、(expA)=exp(A)=expA である。(※P2)

つまり、expA は直交行列である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

exp(tA)が対称行列であると仮定する。

いま、exp(tA)=(exp(tA))=exp(tA)である。(※P2)

両辺を t で微分すると、Aexp(tA)=Aexp(tA)である。(※参考:項別微分〜行列ver)

t=0 とすると、A=A である。

つまり、A は直交行列である。

(2)の証明

A は交代行列であると仮定する。

いま、(expA)=exp(A)=exp(−A)=(expA)−1 である。(※P2、P4)

つまり、expA は直交行列である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

exp(tA)が直交行列であると仮定する。

いま、(exp(tA))−1(exp(tA))=exp(tA)である。(※P2)

よって、exp(tA)exp(tA)=I である。

よって、次のように計算できる。(※P4)





つまり、A+A=O である。

つまり、A は交代行列である。

(3)の証明

A はエルミート行列であると仮定する。

いま、(expA)=exp(A)=expA である。(※P2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

exp(tA)はエルミート行列であると仮定する。

いま、exp(tA)=(exp(tA))=exp(tA)である。(※P2)

両辺を t で微分すると、Aexp(tA)=Aexp(tA)である。(※P4)

t=0 とすると、A=A である。

つまり、A はエルミート行列である。

(4)の証明

A は反エルミート行列であると仮定する。

いま、(expA)=exp(A)=exp(−A)=(expA)−1 である。(※P2、P4)

つまり、expA はユニタリ行列である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

exp(tA)はユニタリ行列であると仮定する。

いま、(exp(tA))−1=(exp(tA))=exp(tA)である。(※P2)

つまり、exp(tA)exp(tA)=I である。

両辺を t で微分すると、(2)と同様に A+A=O である。

つまり、A は反エルミート行列である。

(5)の証明

(2)より、expA は直交行列である。

また、A の対角成分は O である。(※定義(交代行列)の補足)

よって、trA=0 である。

よって、det(expA)=exp(trA)=1である。(※P3)

つまり、expA は特殊直交行列である。

(6)の証明

(4)より、A はユニタリ行列である。

また、det(expA)=exp(trA)=1 である。(※P3)

よって、特殊ユニタリ行列である。