行列の指数関数→対角化→1階連立微分方程式

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参考

次の連立1階微分方程式を考える。



上式は次のように表せる。

以下、主に f=0 の場合を考える。

定義 ( 行列の指数関数 )

A を正方行列とする。

このとき、次のように定義する。

ただし、I は単位行列である。

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

まず、1階線形微分方程式 x’=ax について考える。

よく知られているように、その一般解は x=x(0)eat である。

次に、連立1階線形微分方程式について考える。

つまり、



これは次のように表せる。



つまり、x’=Ax の解を x=etAx(0) と表せないものだろうか?(★)

そこで、e のテイラー展開に注目する。

つまり、



そして、この x を A に置き換えたのである。

これによって(★)を達成できる。

まずは e の基本的な性質を確認する。

P1 ( 基本公式〜その1 )

次が成り立つ。

補足

(4) の J は対角行列である。

(5) の J はジョルダン標準形である。

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

次のように計算できる。

(3)の証明

次のように計算できる。

(4)の証明

(1)と同様である。

(5)の証明

(3)と同様である。

P2 ( 基本公式〜その1 )

次が成り立つ。

(1) (etA)’=AetA

(2) AB=BA ⇒ eA+B=eB+A

(3) e は(つねに)正則であり、(e−1=e−A である。

(4) 任意の正則行列 P に対して ePAP−1=Pe−1 である。

補足

(4) は e を計算するときに便利である。

一般の行列 A に対して e を定義から直接に計算することは難しい。

しかし、よく知られているように、ある正則行列 P が存在して、PAP−1=J は対角行列となる。

また、対角化不能であってもジョルダン標準形に変換できる。

既に述べたように、e は簡単に計算できる。(※P1)

よって、(4)によって e も分かる。

(1)の証明

行列関数の微分は、各成分の微分を意味する。

さらに詳しく基礎付けしたい場合は、行列のノルムを定義する必要がある。

しかし、ここではそこまで要求しないことにする。

また、次のことが知られている。

(*) etA の各成分は、任意の r>0 に対して −r≦t≦r で絶対一様収束し、項別微分可能である。

項別微分について知らない人は気にしなくてよい。

とりあえず、条件を満たせば無限級数を普通に微分できるのだと認識するだけでよい。

すると、

(2)の証明

A+B は絶対収束している。

よって、和の順序を交換している。

また、仮定より、AB=BA である。

つまり、普通の文字式と同様に計算してよい。

よって、

(3)の証明

いま、A(−A)=(−A)A である。

よって、(2)より、e−A=eA+(−A)=e=I である。

(4)の証明

明らかに、(PAP−1=PA−1 である。

よって、

P3

A(t)、B(t) を行列値関数とする。

c(t) をベクトル値関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) (A(t)c(t))’=A’(t)c(t)+A(t)c’(t)

(2) (A(t)+B(t))’=A’(t)+B’(t)

(3) (A(t)B(t))’=A’(t)B(t)+A(t)B’(t)

(4) (A(t)−1)’=−A(t)−1A’(t)A(t)−1

(1)の証明

簡略化して、次の場合について考える。



すると、

(2)〜(4)の証明

(1)と同様に普通に計算すればよい。

P4 ( 解の存在と一意性 )

x’=Ax+b(t) を連立定数係数1階線形微分方程式とする。(★)

b:I→ は連続であるとする。

このとき、初期条件 x(t)=a をみたす(★)の解は、区間 I において一意に存在する。

証明

証明はかなり長くなるので省略する。

ただし、この省略によって後の理解に被害が出ることはない。

まずは定理の内容を把握するだけで十分である。

ちなみに、一般の連立微分方程式の場合は 『 リプシッツ連続性 』 を仮定する。

しかし、線形微分方程式はつねにリプシッツ連続性を満たす。

なので、b(t) の連続性だけを仮定すれば、解の存在と一意性が保証される。

P5

x’=Ax+b(t) を連立非斉次1階定数係数微分方程式とする。

その一般解は、x=etA(∫e−tAb(t)dt+c) である。

証明

方法は通常の線形微分方程式と同じであり、定数変化法を用いる。

まず、b(t)=0 の場合を考える。

つまり、x’=Ax である。

この一般解は、x=etAc ( c は任意の定ベクトル ) である。

ここで、定ベクトル c を c(t) に置き換える。

つまり、x=etAc(t) とおく。

これを x’=Ax+b(t) に代入する。

すると、AetAc(t)+etAc’(t)=AetAc(t)+b(t) である。

よって、etAc’(t)=b(t) である。

よって、c’(t)=e−tAb(t) である。(※P2)

よって、c(t)=∫e−tAb(t)dt+k ( k は任意の定ベクトル ) である。

よって、x=etAc(t)=etA(∫e−tAb(t)dt+k) である。

復習 ( 2次行列の対角化 )

次のようにおく。



ある2次元ベクトル v(≠0) が存在して、Av=λv であるとする。

このとき、λ を 『 A の固有値 』 という。

また、v を 『 λに付く固有ベクトル 』 という。

明らかに、v が A の固有ベクトルならば、kv ( k≠0 ) も同じ固有値に付く固有ベクトルである。

つまり、固有ベクトルは一意ではない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A を対角化してみよう。

いま、次は同値である。

(*1) v は固有値λに付く固有ベクトルである。

(*2) (A−λI)v=0、v≠0

ここで、(A−λI)−1 が存在するとする。(背理法)

いま、(A−λI)−1(A−λI)v=0 である。

よって、v=0 である。

これは矛盾である。

よって、v≠0 であるためには、det(A−λI)=0 である。

つまり、λ−(a+d)λ+(ad−bc)=0 である。(★1)

これを 『 A の固有方程式 』 という。

λ と λ を、(★1)の解とする。

いま、rank(A−λI)<2 ( k=1、2 ) である。(★2)

このことは次式に注意すれば分かる。



さて、(★2)より、(A−λI)x=0 は解 x=v(≠0) をもつ。

つまり、Av=λ であり、固有ベクトルが求められる。

ここで、P=(v、v) とおく。( つまり、P は2×2行列である )

いま、



ここで、P−1 が存在するとする。(★)

いま、



これで A を対角化できた。

(★)について補足

ここでは 「 P−1 が存在する 」 と仮定した。

では、どのような状況であれば P−1 は存在するのか?

一般に、λ≠λ ならば、v と v は1次独立で、P−1 が存在する。

詳しくは、以下の定理で改めて述べる。

P6 ( 2次行列の対角化〜固有値が相異なる実数ver )

A を実2次行列とする。

A の固有方程式は相異なる2つの実数解 λ と λ をもつとする。

を、λ に付く固有ベクトルとする。( k=1、2 )

P=(v、v) とおく。

このとき、P は逆行列をもつ。

また、



また、

証明

既に、復習(2次行列の対角化)で示したように、



後は、P−1 が存在することを示せばよい。

+c=0 と仮定する。

両辺に A を掛けると、cλ+cλ=0 である。

両辺を λ 倍して、上式を引くと、c(λ−λ)v=0 である。

よって、c=0 (※固有ベクトルの定義より v≠0 であることに注意 )

よって、c=0 である。

以上により、v と v は1次独立である。

よって、P=(v、v) は逆行列をもつ。(※線形代数)

以上により、



ここで、次のようにおく。



いま、

P7 ( 2次行列の対角化〜固有値が複素数ver )

A を実2次行列とする。

A の固有方程式は2つの複素数解 λ±=α±iβ をもつとする。

このとき、λ± に付く固有ベクトルは v±=p±iq と表せる。

また、P=(p、q)は逆行列を持つ。

また、



また、

補足

むろん、αとβは実数である。

また、p と q は実ベクトルである。

証明

λ±=α±iβ を A の固有方程式の解とする。

つまり、λ± は A の固有値である。

を、λ に付く固有ベクトルとする。

いま、v=p+iq と表せる。

=p−iq とおく。

( 現時点では、v が λ に付く固有ベクトルであるか否か分からない )

いま、Av=λ である。

両辺の複素共役をとると、Av=λ である。

つまり、v は λ に付く固有ベクトルである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、



つまり、Ap=αp−βq である。

同様に、Aq=βp+αq である。

ここで、P=(p、q)とおく。

いま、



また、



つまり、P は正則行列の積である。

よって、P は正則行列である。

つまり、P−1 は存在する。

以上により、



ここで、次のようにおく。



いま、

P8 ( 2次行列の対角化〜固有値が重解ver )

A を実2次行列とする。

A の固有方程式は重解λをもつとする。

A≠λI であるとする。

このとき、あるベクトル w が存在して、(A−λI)w=v となる。

また、P=(v、w)は逆行列をもつ。

また、



また、

証明

まず、w の存在を示す。

いま、det(A−λI)=0 である。( det(A−λI)は固有方程式を意味するから当然である )

よって、A−λI=(v、v)≠0 の v と v は1次従属である。

むろん、v と v のどちらか一方は 0 でない。

≠0 ならば、w=(1、0) である。

≠0 ならば、w=(0、1) である。

つまり、w は存在する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、P=(v、w) が逆行列をもつことを示す。

v+cw=0 とおく。

上式の両辺に A−λI を掛けると、cv=0 である。

よって、c=0 である。

よって、c=0 である。

以上により、v と w は1次独立である。

よって、P=(v、w) は逆行列をもつ。(※線形代数)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、



以上により、



ここで、次のようにおく。



いま、



よって、

P9 ( 連立1階微分方程式の解の存在と一意性 )

連立1階微分方程式の解は一意に存在する。

証明

x’=Ax を連立1階微分方程式とする。

これは次のように表せる。

(*1) x’(t)=ax(t)+by(t)

(*2) y’(t)=cx(t)+dy(t)

証明

=x(t)を初期値とする。

いま、x(t)=e(t−t)A は(★)の解である。

y(t) を(★)の解とする。

いま、(e−(t−t)Ay(t))=(−Ae−(t−t)A)y(t)+e−(t−t)AAy(t)=0 である。

よって、e−(t−t)Ay(t)は定ベクトルである。

いま、y(t)=x である。

よって、y(t)=e(t−t)A=x(t) である。

P10 ( 連立1階微分方程式の解空間は2次元ベクトル空間である )

x’=Ax を連立1階微分方程式とする。(★)

V を(★)の解全体とする。

このとき、V は2次元ベクトル空間である。

証明

x、y∈V とおく。

いま、(cx+cy)’=cx’+cy’=cAx+cAy=A(cx+cy) である。

つまり、cx+cy∈V である。

よって、V はベクトル空間である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

、x∈V とおく。

ただし、x(t)=e(1、0)、x(t)=e(0、1) であるとする。

+c=0 とする。

いま、c(t)+c(t)=0 である。

よって、c+c=0 である。

よって、c=0、c=0 である。

つまり、x と x は1次独立である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈V とおく。

いま、x(t)=e(t−t)A と表せる。(※P9)

=c+c とおく。

いま、x(t)=e(t−t)A=c(t−t)A+c(t−t)A=c(t)+c(t) である。

つまり、任意の x∈V は x と x の1次結合で表せる。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、x と x は V の基底である。

つまり、V は2次元ベクトル空間である。

P11

x’=Ax を連立1階微分方程式とする。(★)

λ、λ を 、A の固有値とする。

を、λ に付く固有ベクトルとする。

初期値を x=c+c の形で表す。

このとき、(★)の解は、x(t)=cλ+cλ と表せる。

証明

(★)の解は x(t)=e(t−t)A と表せる。

いま、A=λ である。

よって、etA=etλ である。

よって、etA=etA(c+c)=ctA+ctA=cλ+cλ である。

定義 ( 解曲線 )

x’=Ax を連立1階微分方程式とする。(★)

既に述べたように、(★)は初期値 x に応じて解をもつ。(※P9)

この解(x、y)平面上の曲線として表される。

これを 『 解曲線 』 という。

定義 ( 連立微分方程式のベクトル場 )

x’=Ax を連立1階微分方程式とする。(★)

各点 x に対し、ベクトル Ax を対応させる。

これを 『 (★)に付くベクトル場 』 という。

例えば、A を次のように定める。



すると、



つまり、各点に、その位置ベクトルを90度回転させたベクトルを対応させる。

参考 ( 解曲線はベクトル場によって近似できる )

x’=Ax を連立1階微分方程式とする。

いま、近似的に、x(t+h)≒x(t)+hAx(t) と表せる。

よって、x(h)≒x(0)+hAx(0)、x(2h)≒x(h)+hAx(h)、・・・である。

つまり、x((n+1)h)≒x(nh)+hAx(nh) である。

こうして、初期値 x(0) からベクトル場のベクトルを次々とつなぎ合わせて折れ線を構成できる。

これは解曲線の近似できる。

P12 ( ベクトル場の概形〜固有値が相異なる2つの実数ver )

x’=Ax を連立1階微分方程式とする。(★)

A の固有方程式は相異なる2つの実数解 λ と λ ( λ>λ ) をもつとする。

いま、次の3通りの場合が考えられる。

(1) 0<λ<λ

(2) λ<λ<0

(3) λ<0<λ

それぞれの場合について解曲線を図示すると、下図のようになる。

ただし、矢印は t→+∞ の向きを意味していて、t→−∞ の向きは逆となる。

また、u と v の意味は証明中で述べる。

証明

を、λ に付く固有ベクトルとする。

P=(v、v) とおく。

初期値を x=c+c とする。

(★)の解は、x(t)=cλ+cλ と表せる。(※P11)

ここで、z(t)=(u(t)、v(t))、u(t)=cλ、v(t)=cλ とおく。

いま、(u(t)/cλ=eλλ=(v(t)/cλ である。

よって、|v(t)|=c|u(t)|λ である。

(1)の場合、0<λ<1 より、t→∞ で(1)の図を得る。

(2)の場合、λ>1 より、t→∞ で(2)の図を得る。

(3)の場合、λ<0 より、t→∞ で(3)の図を得る。

P13 ( ベクトル場の概形〜固有値が複素数ver )

x’=Ax を連立1階微分方程式とする。(★)

A の固有方程式は複素数解 λ=α+iβ、λ=α−iβ をもつとする。

いま、次の6通りの場合が考えられる。

(1) α<0、β>0

(2) α<0、β<0

(3) α=0、β>0

(4) α=0、β<0

(5) α>0、β>0

(6) α>0、β<0

それぞれの場合について解曲線を図示すると、下図のようになる。

ただし、矢印は t→+∞ の向きを意味している。

また、t→−∞ の場合は、(α、β)を(−α、−β)に置き換えたものになる。

また、u と v の意味は証明中で述べる。

補足

いずれにおいても β>0 ならば時計回りで、β<0 ならば反時計回りである。

証明

いま、λ に付く固有ベクトルは v=p±iq と表せる。(※P7)

また、P=(p、q) とおいて、次が成り立つ。(※P7)





よって、解 x(t) は、



ここで、P−1x(t)=z(t)=(u(t)、v(t)) とおく。

いま、(*)は次のように表せる。



いま、|| z(t) ||=eαt|| z(0) || である。

つまり、u(t)+v(t)=e2αt(u(0)+v(0)) である。

この式により解の挙動が分かる。

P14 ( ベクトル場の概形〜固有値が重解ver )

x’=Ax を連立1階微分方程式とする。(★)

A の固有方程式は重解 λ をもつとする。

いま、次の2通りが考えられる。(※P8)



それぞれの場合について解曲線を図示すると、下図ようになる。



(1)の証明

いま、(★)は、x’=λx である。

その解は x(t)=eλtx(0) である。

x(t)=(u(t)、v(t))、x(t)=(u、v) とおく。

いま、x(t)=eλt(x、y) である。

λ≠0 の場合、x(t)は直線上を動く。

とくに、λ>0 ならば原点から遠ざかり、λ<0 ならば原点に近づく。

λ=0 の場合、解は初期値から動かない。

(2)の証明

いま、次が成り立つ。(※P8)



よって、解は、



−1x(t)=z(t)=(u(t)、v(t)) とおく。

z(0)=(u、v) とおく。

いま、



よって、u(t)=eλt+tv(t)、v(t)=eλt である。

よって、



これらの式によって解曲線を得る。