行列群、回転群

サイトのTOP→理系インデックス





参考

次の手順で議論する。

(1) 行列群

(2) 群の作用→Orb-St定理→|Orb(x)|=|G|/|St(x)|

(3) 軌道分解

(4) 軌道の「数え上げ定理」

(5) 有限回転群

(6) ユークリッド群

定義 ( GL

明らかに、正則行列全体は群となる。

そこで、n 次正則行列全体を GL と表す。

このとき、GL を 『 一般線形群 』 という。

とくに、成分が実数であることを強調したい場合は GL)と表す。

また、成分が複素数であることを強調したい場合は GL)と表す。

n≧2 ならば GL は非可換群である。

参考

A∈GL に対し、次のように定義する。



φ:GL→GLn+1 を φ(A)=A で定義する。

明らかに、φは準同型写像である。

つまり、「 GL 」 と 「 GLn+1 における(*)の形全体 」 は同型である。

を f(x)=Ax で定義する。

n+1n+1 を f(x)=Ax で定義する。

このとき、f 上で f として作用する。

つまり、(x、z)∈× とすると、f(x、z)=(f(x)、z)である。

定義 ( 直交群 )

A を n 次行列とする。

AA=I ( I は単位行列 ) であるとする。

このとき、A を 『 直交行列 』 という。

n次直交行列全体を O と表す。

明らかに、O は GL の部分群である。(★)

(★)の証明

A、B∈O とおく。

いま、(AB−1)AB−1(B−1AAB−1B)AAB−1=BAAB−1=I である。

つまり、AB−1∈O である。

以上により、A、B∈O ⇒ AB−1∈O である。

よって、O は GL の部分群である。

定義 ( 特殊直交群 )

の元に対し、その行列式はつねに 1 または −1 である。(★)

とくに、行列式が 1 となるもの全体を SO と表す。

このとき、SO を 『 特殊直交群 』 という。

明らかに、SO は O の部分群である。

(★)の証明

よく知られているように、det(AB)=detAdetB である。

また、det(A)=detA である。

よって、det(AA)=(detA) である。

一方、det(AA)=detI=1 である。

よって、detA=±1 である。

P1

次は同値である。

(1) A は直交行列である。

(2) A の列は正規直交基底である。

証明

明らかである。

P2

A∈O とおく。

を f(x)=Ax で定義する。

このとき、次が成り立つ。

(1) f は内積を保存する。

(2) f はノルムを保存する。

補足

例えば、x・y=0 ⇒ f(x)・f(y)=0 である。

つまり、f は直交性を保存する。

(1)の証明

計算すると、f(x)・f(y)=(Ax)(Ay)=AAy=xy=(x、y)である。

(2)の証明

いま、|| x ||=(x、x)1/2 である。

よって、(1)より、|| f(x) ||=|| x || である。

P3

f: を線形変換とする。

f はノルムを保存するとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) f は2点間の直交性を保存する。

(2) f の表現行列は直交行列である。

(1)の証明

いま、|| f(x)−f(y) ||=|| f(x) ||−2f(x)・f(y)+|| f(y) || である。

また、|| f(x)−f(y) ||=|| x−y || である。

よって、f(x)・f(y)=2−1( || x ||−|| x−y ||+|| y || )=x・y である。

(2)の証明

A を f の表現行列とする。

いま、(f(e)、・・・、f(e))=(e、・・・、e)A=A である。

(1)より、f は の自然基底を正規直交基底に写す。

つまり、(f(e)、・・・、f(e))は直交行列である。

よって、A は直交行列である。

P4

直交行列は次のいずれか一方の形である。





(*1)は、行列式が +1 であり、原点を中心とする反時計回りの角度θ回転を意味する。

(*2)は、行列式が −1 であり、x軸方向から角度 θ/2 で原点を通る直線に対する反転を意味する。

補足

むろん、(*1)は SO の元である。

とくに、(*1)は 『 回転行列 』 と呼ばれる。

この行列は、覚えておくと何かと便利である。

これは 「 右上に −sinθ 」 と覚えればよい。

残りの成分はすべて + であり、cos と sin は交互に並んでいるから、残りは自動的に埋まる。

証明

A∈O とおく。

次のように表す。



いま、A の列は単位ベクトルであり、互いに直交している。(※P1)

つまり、(a、b)は単位円周上にある。

そこで、a=cosθ、b=sinθ ( 0≦θ<2π ) とおく。

また、c=cosφ、d=sinφとおく。

ただし、φ=θ+π/2 あるいは φ=θ−π/2 である。

φ=θ+π/2 の場合、(*1)である。

φ=θ−π/2 の場合、(*2)である。

P5

C を複素平面上の単位円周とする。

このとき、C と SO は同型である。

証明

次のように定義する。



いま、φは同型写像である。(※P4)

P6

SO の元は原点を通る軸に対する の回転を意味する。

証明

A∈SO とおく。

いま、det(A−tI)は3次式である。

よって、少なくとも1つの実根をもつ。(・・)

つまり、A は実数の固有値をもつ。

いま、固有値の絶対値はいずれも1である。(・・)

また、その積は detA に一致する。(・・)

よって、+1 は A の固有値である。

v を、+1に伴う固有ベクトルとする。

つまり、v によって定められる原点を通る直線は f に対して不変である。

いま、f は直交性を保存する。(※P2の補足)

よって、v に垂直な平面で原点を通るものは f によってそれ自身に写される。

の正規直交基底で、最初の元が v/|| v || となるものを構成する。

この基底に関する f の行列は、次のように表される。



いま、明らかに、B∈SO である。

つまり、f は v によって定められる軸に関する回転である。

P7

A∈O とおく。

次のように定義する。



つまり、U は (x、y)平面に対する反転である。

このとき、次が成り立つ。

(1) AU∈SO

(2) f=fAU

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

定義 ( 群の作用 )

G を群とし、X を集合とする。

任意の g∈G、任意の x∈X に対し、gx∈X が一意に定まるとする。

次が成り立つとする。

(1) g、h∈G、任意の x∈X に対し、(gh)x=g(hx) である。

(2) 任意の x∈X に対し、1x=x である。

このとき、「 G は X に作用する 」 という。

『 群の作用 』 と 『 群の演算 』 は区別しよう。

群の作用を * で表すと、上の(1)、(2)は次のように表せる。

(*1) (gh)*x=g*(h*x)

(*2) 1*x=x

定義 ( 軌道 )

G が X に作用しているとする。

x∈X とおく。

このとき、Gx を 『 x の G による軌道 』 という。

Gx を Orb(x) と表すこともある。

定義 ( 固定化群 )

G が X に作用するとする。

x∈X とおく。

St(x)={ g∈G|gx=x } と定義する。

このとき、St(x) を 『 x の固定化群 』 という。

明らかに、St(x) は G の部分群である。

定義 ( 共役類 )

G を群とする。

x、y∈G とおく。

ある g∈G が存在して、x=gyg−1 となるとする。

このとき、「 x と y は共役である 」 という。

明らかに、共役は同値関係である。

そこで、共役による同値類を C(x) と表す。

このとき、C(x) を 『 共役類 』 という。

定義 ( 中心化群 )

G を群とする。

S を G の部分集合とする。

(S)={ x∈G|任意の s∈S に対して xs=sx である } と定義する。

このとき、Z(S) を 『 中心化群 』 という。

とくに、Z(G) を Z(G) と表す。

このとき、Z(G) を 『 G の中心 』 という。

明らかに、Z(S) は G の部分群である。

とくに、S={a} の場合、Z(a) と表す。

明らかに、G がアーベル群ならば Z(G)=G である。

P8 ( Orb-St 定理 )

G は X に作用するとする。

x∈X とおく。

φ:Orb(x)→G/St(x) を φ(gx)=gSt(x) で定義する。

このとき、φ は全単射である。

証明

明らかに、φ は全射である。

St(x)=gSt(x) と定義する。

いま、ある h∈St(x) が存在して、g=gh である。

よって、gx=ghx=gx である。

よって、φ は単射である。

P9 ( ラグランジュの定理〜軌道-固定化群ver )

G を群とし、X を集合とする。

G が X に作用するとする。

|G|<∞ とする。( すなわち、G は有限群である )

このとき、|Orb(x)|=(G:St(x))=|G|/|St(x)|である。

証明

明らかである。(※Orb-St定理、ラグランジュの定理)

注意 ( 共役による作用 )

G から G 自身への共役による作用を考える。

つまり、x∈G とすると、Orb(x)={ gxg−1|g∈G } である。

明らかに、これは共役類と同じである。

つまり、「 y∈Orb(x) 」 と 「 x と y が共役である 」 は同じ意味である。

P10 ( ラグランジュの定理〜共役-中心化群ver )

G を有限群とする。

x∈G とおく。

このとき、|C(x)|=|G|/|Z(x)|である。

補足

つまり、|C(x)|は|G|の約数である。

証明

G の自分自身への共役による作用を考える。

つまり、gx=x ⇔ gxg−1=x である。( gx は積ではなくて、作用を意味する )

よって、St(x)=Z である。(※作用と積を混同しないように注意)

いま、Gx=C(x)である。

つまり、Gx={ gxg−1|g∈G } である。

よって、|C(x)|=|G|/|Z(x)|である。(※P2)

定義 ( 推移的 )

群 G が集合 X に作用するとする。

ある x∈X が存在して、Orb(x)=X となるとする。

このとき、この作用は 『 推移的 』 であるという。

また、X を 『 G の等質空間 』 という。

P11

G は X に作用するとする。

G の X への作用は推移的であるとする。

つまり、ある a∈X が存在して、X=Ga となる。

φ:G/H→X=Ga をφ(σH)=σa で定義する。

このとき、φは全単射である。

つまり、|X|=|G/H|であり、|X|は|G|の約数である。(※ラグランジュの定理)

証明

明らかに、φは全射である。

σa=τa と仮定する。

いま、τ−1σ∈H である。

よって、σH=τH である。

よって、φは単射である。

P12

G を群とし、X を集合とする。

G が X に作用するとする。

a∈G と x、y∈X に対して、ax=y とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) Orb(x)=Orb(y)

(2) St(y)=aSt(x)a−1

補足

とくに、同じ軌道に属する点は共役な固定部分群をもつことが分かる。

(1)の証明

Orb(x)の任意の元は bx の形で表せる。( ただし、b∈G )

ax=y∈X の両辺に a−1 を作用させると、x=a−1y である。

よって、bx=ba−1y∈Orb(y) である。

よって、Orb(x)⊂Orb(y) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Orb(y)の任意の元は by の形で表せる。( ただし、b∈G )

いま、by=bax∈Orb(x) である。

よって、Orb(y)⊂Orb(x) である。

以上により、Orb(x)=Orb(y)である。

(2)の証明

b∈G とおく。

いま、



よって、St(y)=aSt(x)a−1 である。

P13

G が X に作用するとする。

x、y∈X とおく。

Orb(x)∩Orb(y)≠φであるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) Orb(x)=Orb(y)

(2) St(x) と St(y) は同型である。

(1)の証明

z∈Gx∩Gy とおく。

いま、z=gx=gy ( g∈G、g∈G ) と表せる。

また、y=g−1x である。

よって、Gx=Gy である。(※P5)

(2)の証明

、g を(1)の証明中の意味でとる。

g=g−1 とおく。

いま、St(y)=gSt(x)g−1 である。(※P5)

φ:St(x)→St(y) を φ(h)=ghg−1 で定義する。

、h∈St(x)とおく。

いま、φ(h)=gh−1=gh−1gh−1=φ(h)φ(h)である。

つまり、φは準同型である。

ψ:St(y)→St(x) を ψ(h)=g−1hg で定義する。

明らかに、ψはφの逆写像である。

P14

G は X に作用するとする。

x、y∈X に対して、Orb(x)=Orb(y)であることを x〜y と定義する。

このとき、関係〜は同値関係である。

また、〜に関する x の同値類と軌道O(x)は一致する。

( つまり、軌道は同値類である )

証明

関係 〜 が同値関係であることは明らかである。

関係 〜 による x∈X が属する同値類を C とする。

y∈C とする。

いま、x〜y である。

よって、Orb(x)=Orb(y)である。

よって、y=1y∈Orb(y)=Orb(x)である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

逆に、y∈Orb(x)と仮定する。

いま、Orb(x)=Orb(y)である。(※P6)

よって、x〜y である。

よって、y∈C である。

以上により、y∈C ⇔ y∈Orb(x)である。

よって、x の同値類と軌道 Orb(x) は一致する。

定義 ( 軌道分解 )

G は X に作用するとする。

既に示したように、軌道は同値類である。

よって、類別 X=∪λ∈Jλ を考えることができる。

これを 『 G による X の軌道分解 』 という。

つまり、G から X への作用が推移的であるとは、軌道分解が1つの同値類からなることを意味する。

定義 ( g で固定される点全体 )

G は X に作用するとする。

g∈G とおく。

={ x∈X|gx=x } と定義する。

P15 ( 軌道の 「 数え上げ定理 」 )

X を集合とする。

G を有限群とする。

G は X に作用するとする。

このとき、異なる軌道の数は g∈X|X|である。

補足

つまり、異なる軌道の数は、各 g∈G によって固定される点の数の平均値である。

証明

明らかに、g∈X|X|=x∈X|St(x)|である。(★1)

Orb(x)、・・・、Orb(x) を互いに異なる軌道とする。

明らかに、x∈X|St(x)|=1≦k≦Nx∈O(x|St(x)|である。(★2)

既に示したように、同じ軌道に属する点は共役な固定部分群をもつ。(※P12補足)

よって、x∈O(x|St(x)|=|Orb(x)|・|St(x)|である。

よって、x∈O(x|St(x)|=|G|である。(※Orb-St定理)

よって、(★1)、(★2)より、g∈G|X|=N|G|である。

P16

群において共役な元は同じ個数の点を固定する。

証明

g と h は共役であるとする。

いま、h=ugu−1 である。

g が x を固定するとする。

いま、h(u(x))=ugu−1(u(x))=ug(x)=u(x)である。

つまり、u(x)∈X である。

つまり、x∈X ⇒ u(x)∈X である。

同様に、x∈X ⇒ u−1(x)∈X である。

これは X と X の間に全単射が存在することを意味する。

P17

の有限部分群は、巡回群または2面体群である。

とくに、有限部分群 G が SO に含まれるとき、G は巡回群である。

また、有限部分群 G が SO に含まれるとは限らない場合、G は2面体群である。

証明

G を O の有限部分群とする。

G が SO に含まれる場合について考える。

いま、G の各元は平面の回転である。

θ ( 0≦θ<2π ) を、原点を中心とする反時計回りのθ回転とする。

φを、Aφ∈G となる最小の正数とする。

いま、ある r∈ が存在して、θ=rφ+η ( 0≦η<φ ) と表せる。

よって、Aθ=Arφ+η=(Aφη である。

よって、Aη=(Aφ−rθ∈G である。

よって、η=0 である。

つまり、G は Aφ によって生成される巡回群である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

G が SO に含まれるとは限らない場合について考える。

H=G∩SO とおく。

いま、H は SO に含まれている。

よって、上の結果より、H は巡回群である。

A を H の生成元とする。

B∈G−H とおく。

いま、B は反転である。(※P4)

よって、B=I である。

A=I の場合について考える。

いま、G は I と B からなる。

よって、G は位数 2 の巡回群である。

A≠I の場合について考える。

n∈ を、A の位数とする。

いま、G の元は I、A、・・・、An−1、B、AB、・・・、An−1B である。

また、A=I、B=I、BA=A−1B である。

よって、G は2面体群とする。

P18

SO における異なる軌道の個数は2個または3個である。

G を SO の有限部分群とする。

異なる軌道の個数が2個である場合、G は巡回群である。

異なる軌道の個数が3個である場合、(|St(x)|、|St(y)|、|St(z)|)に対応して次のようになる。

(1) (1/2、1/2、1/2) ⇒ G はクラインの群

(2) (1/2、1/2、1/n) ( n≧3 ) ⇒ G は2面体群

(3) (1/2、1/3、1/3) ⇒ G は正4面体の合同変換

(4) (1/2、1/3、1/4) ⇒ G は正8面体の合同変換

(5) (1/2、1/3、1/5) ⇒ G は正20面体の合同変換

証明 ( 異なる軌道の個数が 2 または 3 になることについて )

G を SO の有限部分群とする。

いま、G の各元は原点を通る軸に関する の回転を意味する。

g∈G の軸が単位球面と交わる点を 『 gの極 』 という。

明らかに、各 g は極を2つだけをもつ。

X を、G−{1}のすべての元に対する極全体とする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈X、g∈G とおく。

x は h∈G の極であるとする。

いま、ghg−1(g(x))=g(h(x))=g(x)である。

つまり、g(x) は ghg−1 の極である。

よって、g(x)∈X である。

つまり、G は X に作用する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

N を、互いに異なる軌道の個数とする。

、・・・x を、各軌道から1つの極を選びとったものとする。

いま、G−{1}の人の元は2つの極を固定する。

また、単位元はすべての極を固定する。

よって、N=|G|−1(2(|G|−1)+|X|)である。(※軌道の「数え上げ定理」)

よって、N=|G|−1(2|G|−1)+1≦i≦N|Orb(x)|である。(★1)

式変形すると、2(1−|G|−1)=1≦i≦N(1−|St(x)|−1)である。(※Orb-St定理)(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

G は非自明であるとしてよい。

すると、(★2)の左辺は1以上で2より小さい。

一方、各 St(x) の位数は2以上である。

つまり、2−1≦1−|St(x)|−1<1 である。

よって、N=2 または 3 である。

証明 ( N=2の場合 )

N=2 の場合について考える。

いま、(★1)より、2=|Orb(x)|+|Orb(x)|である。

つまり、極は2つだけ存在する。

よって、軸が一意に定まる。

いま、G−{1}のすべての元は、この軸に対する回転である。

軸は一意なので、これは平面の回転と同じである。

よって、G は巡回群である。(※P17)

証明 ( N=3の場合 )

N=3 の場合について考える。

簡略化のため、x、x、x を x、y、z と表す。

いま、2(1−|G|−1)=3−(|St(x)|−1+|St(y)|−1+|St(z)|−1)である。(★3)

いま、上式右辺は1より大きい。

よって、次の場合が考えられる。

(*1) 1/2、1/2、1/2

(*2) 1/2、1/2、1/n ( n≧3 )

(*3) 1/2、1/3、1/3

(*4) 1/2、1/3、1/4

(*5) 1/2、1/3、1/5

(1)の証明

あとで。

定義 ( ユークリッド群 )

から への等長変換全体を Isom() と表す。

明らかに、Isom() は群である。(★)

このとき、Isom() を 『 ユークリッド群 』 という。

(★)の証明

g、h∈Isom() とおく。

いま、|| g(h(x))−g(h(y)) ||=|| h(x)−h(y) ||=|| x−y || である。

よって、gh∈Isom() である。

いま、明らかに、g は全単射である。

よって、|| g−1(x)−g−1(y) ||=|| g(g−1(x))−g(g−1(y)) ||=|| x−y || である。

よって、g−1∈Isom() である。

定義 ( 平行移動 )

v∈ とおく。

τ: をτ(x)=x+v で定義する。

このとき、τを 『 v による平行移動 』 という。

P19

同一線上にない3つの円は高々1点で交わる。

証明

明らかである。

P20

T を Isom() の平行移動全体とする。

O を Isom() の直交変換全体とする。

明らかに、T と O は Isom() の部分群である。(★)

このとき、任意の g∈Isom() に対し、ある τ∈T、f∈O が一意に存在して、g=τf と表せる。

補足

定理は Isom() の任意の元が次のいずれかの形で表されることを意味する。(※P4)

(*1) 『 原点を中心とする回転 』 と、それに続く 『 平行移動 』 の合成

(*2) 『 原点を通る直線に対する反転 』 と、それに続く 『 平行移動 』 の合成

証明

g∈ Isom() とおく。

g(0)=v とおく。

τ: を v による平行移動とする。

いま、f=τ−1g に対して原点は不変である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=(1、0)、e=(0、1) とする。

いま、各点 x∈ は次の3つの値で定まる。(※P19)

(*) || x ||、|| x−e ||、|| x−e ||

また、f(x)は次の3つの値で定まる。(※P19)

(*) || f(x) ||=|| x ||、|| f(x)−f(e) ||=|| x−e ||、|| f(x)−f(e) ||=|| x−e ||

つまり、f(e) と f(e) の位置が定まれば、すべての f(x) が決定される。

いま、|| f(e) ||=|| e ||=1、|| f(e) ||=|| e ||=1、、|| f(e)−f(e) ||=|| e−e ||=√2 である。

よって、角 f(e)0f(e) は直角である。

よって、次の2通りの場合が考えられる。



前者は角度θの回転である。

後者は x 軸正方向から角 θ/2 で原点を通る直線に対する反転である。

以上により、f は 『 0 を中心とした回転 』 または 『 0 を通る直線の反転 』 である。

g=τf であるから、これで定義が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、一意性を示す。

明らかに、T∩O={1}である。

g∈ Isom() とおく。

g=τ=τ ( τ、τ∈T、f、f∈O ) とおく。

いま、τ−1τ=f−1∈T∩O である。

よって、τ=τ であり、f=f である。

定義 ( 直等長変換、反等長変換 )

g∈ Isom() とおく。

いま、一意に g=τf ( τ∈T、f∈O ) と表せる。(※P20)

f が回転である場合、g を 『 直等長変換 』 という。

f が反転である場合、g を 『 反等長変換 』 という。

定義 ( 半直積 )

H、J を群とする。

φ:J→Aut(H)を準同型写像とする。

(x、y)∈H×J に対し、次のような演算を定義する。

(*) (x、y)(x’、y’)=(x・φ(y)(x’)、y・y’)

この演算に関して H×J は群となる。(★)

このとき、H×J を H×φJ と表す。

また、H×φJ を 『 φによって定められる半直積 』 という。

明らかに、半直積は直積の一般化である。

(★)について補足

単位元は (1、1) である。

(x、y)の逆元は (φ(y)−1(x−1)、y−1)である。

結合則は次のように示される。



上の計算ではφが準同型写像であることに注意。

P21

φ:O→Aut(T)を共役による作用とする。

ψ:O→Aut(T)を自然な作用とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) Isom() と T×φO は同型である。

(2) Isom() と T×ψO は同型である。

(1)の証明

g、h∈Isom() とおく。

いま、一意に g=τf、h=τ’f’ ( τ、τ’∈T、f、f’∈O ) と表せる。

η: Isom()→T×φO を η(g)(τ、f) で定義する。

いま、次が成り立つ。

(*) η(gh)=η(τf、τ’f’)=η(τfτ’f−1・ff’)=(τfτ’f−1、ff’)=(τ、f)・(τ’f’)=η(g)η(h)

よって、ηは準同型である。

また、明らかに、ηは全単射である。

(2)の証明

(1)と同様である。

定義 ( 等長変換を(v、M)で表す )

g∈ Isom() とおく。

いま、一意に g=τf ( τ∈T、f∈O ) と表せる。

v=τ(0)とおく。

M を、 の自然基底に関する f の表現行列とする。

いま、g(x)=v+Mx である。

逆に、v∈ と M∈O から平面の等長変換が定まる。

そこで、Isom() と ×ψ を同一視する。

むろん、積は (v、M)・(v’、M’)=(v+Mv’、MM’)である。

注意

(v、M)は、detM=+1 のとき直等長変換である。

(v、M)は、detM=−1 のとき反等長変換である。

定義 ( 並進反転 )

ある直線 L に対する反転の後に、その直線と平行な方向に平行移動させる。

これを 『 Lに沿う並進反転 』 という。

P22

直線 L、L を下図のように決めておく。



行列 A、B を次のように決めておく。



次が成り立つ。

(1) v∈ による平行移動は (v、I) である。( I は単位行列 )

(2) 原点を中心とする反時計回りθ回転は (0、A) である。

(3) L に対する反転は (0、B) である。

(4) 点 c を中心とする反時計回りθ回転は (c−Ac、A) である。

(5) L に対する反転は (2a、B) であり、Ba=−a が成り立つ。

(6) L に沿う並進反転は (2a+b、B) であり、Bb=b である。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

複素平面上で点 x+iy を考える。

これをθ回転させると、(cosθ+isinθ)(x+iy)である。

計算すると、(xcosθ−ysinθ)+i(xsinθ−ycosθ)である。

これを行列で表すと、A である。

(3)の証明

複素平面上で点 x+iy を考える。

これを L に関して反転させると、(cos(φ/2)+isin(φ/2))(x−iy)である。

計算すると、(cosφ+isinφ)(x−iy)である。

これを行列で表すと、B である。

(4)の証明

x∈ とおく。

「 x を、点 c を中心にθ回転させる 」 は次の手順と同じである。

(*1) x を −c だけ平行移動させて x−c へ写す。

(*2) x−c を原点を中心にθ回転させて A(x−c) へ写す。

(*3) A(x−c) を c だけ平行移動させて A(x−c)+c へ写す。

A(x−c)+c を式変形すると、(c−Ac)+Ax である。

(5)の証明

x∈ とおく。

「 x を、直線 L に対して反転させる 」 は次の手順と同じである。

(*1) x を −a だけ平行移動させて x−a へ写す。

(*2) x−a を L に対して反転させて B(x−a) へ写す。

(*3) B(x−a) を a だけ平行移動させて B(x−a)+a へ写す。

また、明らかに、Ba=−a である。

よって、B(x−a)+a=2a+Bx である。

(6)の証明

明らかである。

P23 ( 等長変換は 「 平行移動・回転・並進反転 」 のいずれかである )

次が成り立つ。

(1) 直等長変換は、平行移動または回転である。

(2) 反等長変換は、反転または滑り反転である。

補足

次のように決めておく。

(1)の証明

(v、A) を直等長変換とする。

θ=0 の場合、これは平行移動である。

そうでない場合、det(I−A)=2−2cosθ>0 である。

よって、I−A は正則行列である。

よって、(I−A)x=v は x に関して一意な解 x=c をもつ。

つまり、(v、A)=(c−Ac、A)である。

よって、(v、A) は c を中心とするθ回転である。(※P22)

(2)の証明

(v、B) を反等長変換とする。

0≦φ<2πとする。

Bv=−v の場合について考える。

いま、a=v/2 を通る直線で、a に垂直な直線 L’ に対する反転である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Bv≠−v の場合について考える。

w=v−Bv とおく。

いま、Bw=Bv−Bv=Bv−v=−w である。

ここで、w に沿って v を分解する。

むろん、v の w 方向の成分は (v・w/|| w ||)w である。

2a=(v・w/|| w ||)w とおく。

b=v−2a とおく。

いま、(v、B)=(2a+b、B) である。

これは下図の L に沿う滑り反転である。(※P22)