1次元波動方程式の導出、物理的意味

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定義 ( 1次元波動方程式 )

次の形の偏微分方程式を 『 1次元波動方程式 』 という。

u/∂t を utt と表し、∂u/∂x を uxx と表すことも多い。

この場合、1次元波動方程式は、utt=vxx と表される。

P1 ( 1次元波動方程式の導出 )

水平に張られた弦が鉛直方向に微小振動するとする。

水平方向を x とし、鉛直方向を u とする。

u(x、t) を、時刻 t における ( 位置 x での ) 弦の x 軸からの変位とする。

弦の単位長さ当りの質量をρとする。

弦の張力は T であるとする。

このとき、弦の振動は次式によって記述される。

補足

図示すると、

証明

いま、微小部分において弦の質量は m=ρΔx である。

また、微小部分の加速度は、a=∂u/∂t である。

よって、ma=ρΔx∂u/∂t である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、弦に作用する力を考える。

θ を、点 x において弦の接線と x 軸が成す角とする。

θ+Δθ を、点 x+Δx において弦の接線と x 軸が成す角とする。

微小部分に作用する張力の鉛直方向成分は、F=Tsin(θ+Δθ)−Tsinθである。(★2)

いま、θは非常に小であると仮定している。

よって、sinθ≒tanθ=∂u/∂x としてよい。(★3)

また、sin(θ+Δθ)≒tan(θ+Δθ)=∂u/∂x|x+Δx≒∂u/∂x+Δx∂u/∂x である。(★4)

(★2)〜(★4)より、F=TΔx∂x+Δx∂u/∂x である。

よって、(★1)より、T(∂u/∂x)Δx=ρ(∂u/∂t)Δx である。

ここで、v=√(T/ρ) とおく。

いま、∂u/∂t=vu/∂x である。

(★4)の補足

∂u/∂x|x+Δx は 「 u を x で偏微分してから x+Δx を代入する 」 という意味である。

また、よく知られているように、関数 f のテイラー展開は、f(x+Δx、t)=f(x、t)+Δx∂f/∂x+・・・ である。

ここで、f=∂u/∂x とすれば、(★4)を得る。

参考 ( 1次元波動方程式の解 )

tt=vxx を1次元波動方程式とする。(★)

u(0、t)=u(L、t)=0 であるとする。

このとき、(★)の解は、

u(0、t)=u(L、t)=0 は弦が x=0 と x=L で固定されていることを意味する。

このような条件を 『 境界条件 』 という。

と φ は任意定数である。

これらの値は、初期条件によって定まる。

1次元波動方程式の解を求める証明は長くなるので別のページで扱う。

ただし、u(x、t)が(★)の解であることは、u(x、t)を(★)に代入すれば確認できる。

ここでは、1次元波動方程式の物理的意味を考える。

いま、次のようにおくことができる。



つまり、1次元波動方程式の解は 『 x のみに依存する関数 』 と 『 t のみに依存する関数 』 の積として表されている。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、X(x)に注目しよう。

X(x) は波形を意味している。

ただし、n=0 は除外してよい。

実際、n=0 の場合は u(x、t)=0 となる。

これは弦が振動しないことを意味していて、意味がない解である。

また、n が負である場合も除外してよい。

実際、n が負である場合は、正の場合を用いて表現できる。

例えば、



結局、n=1、2、3、・・・の場合のみを考えればよい。

これを図示すると、



このように、特定の波形のみが解として現れる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、T(t)に注目する。

いま、ω は角振動数を意味する。

また、ω=nπv/L である。

つまり、角振動数は、特定の値のみをとる。

ここで、ν=(2π)−1ω とおく。

つまり、ν は振動数である。

いま、v=ωL(nπ)−1=2νL/n である。

ここで、λ を波長とする。

つまり、λ=2L/n である。

よって、v=2νL/n=λν である。

つまり、v は 「 波長と振動数の積 」 である。

つまり、v は波の速度を意味する。

補足

もしかしたら、

「 v は波の速度を意味するとはどういうことだろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

まず、波は1回振動する毎に波長分だけ進む。

振動数は、単位時間の振動回数である。

よって、波の速度は、波長と振動数の積となる。

また、弦の振動は、『 正方向に進行する波 』 と 『 負方向に進行する波 』 の合成であることに注意する。