1次元波動方程式、弦の振動

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定義 ( フーリエ級数 )

f:[−L、L]→ をリーマン可積分関数とする。

次のように定義する。



このとき、S[f](x) を 『 f のフーリエ級数 』 という。

S[f](x)=f(x) が成り立つことを 「 f はフーリエ級数展開可能である 」 という。

ただし、S[f](x)=f(x) が成り立つとは限らないことに注意しよう。

では、どのようなときに S[f](x)=f(x) が成り立つのか気になるところである。

これはフーリエ解析の1つのテーマであり、奥が深い。

ただし、簡単に言えば、次のように言える。

(1) 滑らかな周期関数に対して S[f](x)=f(x) である。

(2) 周期関数で、そのグラフの1周期分が有限の長さをもつならば、フーリエ級数は収束する。

例えば、(1)より、1次元波動関数に対しては S[f](x)=f(x) としてよい。

また、(1)と(2)を混同しないように注意しよう。

例えば、よく知られているように、方形波に対しては 『 ギブズ現象 』 と呼ばれる誤差が生じる。

つまり、フーリエ級数は収束するが、S[f] と f が一致しない場合がある。

既に述べたように、1次元波動関数の議論では S[f](x)=f(x) としてよい。

よって、物理学の参考書では、最初から S[f](x)=f(x) を仮定している参考書が多い。

しかし、これによって 「 すべての関数はフーリエ級数展開可能である 」 と誤解する人がいると思われる。

定義 (フーリエ余弦級数、正弦級数 )

f:[0、L]→ をリーマン可積分関数とする。

次のように定義する。



このとき、Scos[f](x) を 『 フーリエ余弦級数 』 という。

また、Ssin[f](x) を 『 フーリエ正弦級数 』 という。

(1)の補足

いま、f は 0≦x≦L 上で定義されている。

これを f(−x)=f(x) ( 0≦x≦L ) によって −L≦x≦L 上へ拡張する。

いま、f は周期 2L の 『 偶関数 』 と見なせる。

よって、



そこで、再び定義域を 0≦x≦L に制限し、S[f](x) を Scos[f](x) と表したのである。

(2)の補足

いま、f は 0≦x≦L 上で定義されている。

これを f(−x)=−f(x) ( 0≦x≦L ) によって −L≦x≦L 上へ拡張する。

いま、f は周期 2L の 『 奇関数 』 と見なせる。

後は(1)の場合と同様である。

P1 ( uxy=0 の一般解 )

xy=0 を偏微分方程式とする。(★)

このとき、(★)の一般解は u(x、y)=φ(x)+ψ(y) である。

ただし、φとψは任意関数である。

証明

いま、uxy=0 である。

よって、u=φ(x) である。

よって、u=∫φ(x)dx+ψ(y) である。

いま、φ(x) は任意関数である。

よって、∫φ(x)dx も任意関数である。

そこで、φ(x)=∫φ(x)dx とおけばよい。

定義 ( 1次元波動方程式 )

tt=cxx を偏微分方程式とする。(★)

ただし、u=u(x、t) である。

このとき、(★)を 『 1次元波動方程式 』 という。

u(x、t) は、時刻 t における位置 x での弦の変位を意味する。

もしかしたら、

「 なぜ、(★)が弦の振動を意味することになるのだろう? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

実は、弦の振動を力学的に考察することによって1次元波動方程式(★)を導くことができる。

その議論は難しくないが、少し長くなる。

なので、1次元波動方程式の導出は別のページで解説している。

P2 ( 1次元波動方程式の一般解〜ダランベール解 )

tt=cxx を1次元波動方程式とする。(★)

このとき、(★)の一般解は u(x、t)=φ(x+ct)+ψ(x−ct) である。

補足

これを 『 ダランベールの解 』 という。

補足

つまり、(★)の解は次の2つの波の重ね合わせとして表される。

(*1) φ(x+ct) : 負方向に速度 c で進む波

(*2) ψ(x−ct) : 正方向に速度 c で進む波

むろん、現実に φ(x+ct) と ψ(x−ct) が存在しているわけではない。

証明

ξ=x+ct、η=x−ct とおく。

u(x、t)をξとηの関数と見なして t で偏微分すると、



さらに、同じように偏微分すると、



ただし、上記の計算では次を用いた。



同様に、



これらを(★)に代入すると、uξη=0 である。

その一般解は、u=φ(ξ)+ψ(η)である。(※P1)

よって、u(x、t)=φ(x+ct)+ψ(x−ct)である。

P3 ( ストークス解 )

tt=cxx を1次元波動方程式とする。(★)

u(x、0)=f(x)、u(x、0)=g(x) を初期条件とする。

このとき、(★)の解は、

補足

上記の一般解を 『 ストークスの波動公式 』 という。

証明 ( 簡易版 )

(★)の一般解は、u(x、t)=φ(x+ct)+ψ(x−ct) である。(※P3)

いま、u(x、0)=φ(x)+ψ(x)=f(x) である。(★1)

また、u(x、0)=c(φ(x)−ψ(x))=g(x) である。(★2)

いま、(★2)より、



よって、(★1)より、



よって、

P4 ( 固定端における波の反射 )

tt=cxx を1次元波動方程式とする。(★1)

u(x、0)=f(x)、u(x、0)=g(x) を初期条件とする。

u(0、t)=0 を境界条件とする。

これは x=0 で固定された弦の振動を意味する。

そこで、x≧0 の範囲で解を求めればよい。

また、f(x) と g(x) は x≧0 のみで定義されていると見なしてよい。

ストークスの波動公式に対して境界条件を代入すると、



上式は、f と g が奇関数であれば、満たされる。

つまり、f(−x)=−f(x) と g(−x)=−g(x) によって満たされる。(★2)

つまり、ストークスの波動公式に(★2)を付加したものが(★1)の解である。

補足

物理的には、この解は次の2つが同じであることを意味する。

(*1) x の正の方向から入射する波の固定端での反射

(*2) 仮想的に x の負の方向から正負を反転した波が入射して干渉する。

証明

証明は定理の中に書いた。

P5 ( 両端を固定された弦の振動 )

tt=cxx を1次元波動方程式とする。(★1)

u(0、t)=u(L、t)=0 を境界条件とする。

u(x、0)=f(x)、u(x、0)=g(x) を初期条件とする。

これは x=0 と x=L で固定された弦の振動を意味する。

そこで、0≦x≦L の範囲で解を求めればよい。

また、f(x) と g(x) は 0≦x≦L で定義されていると見なしてよい。

ストークスの波動公式に対して境界条件を代入すると、



上式は、f と g が周期 2L の奇関数であれば満たされる。(★2)

つまり、ストークスの波動公式に(★2)を付けたものが(★1)の解である。

証明

証明は定理の中で述べた。

P6 ( 1次元波動方程式の特殊解 )

tt=cxx を1次元波動方程式とする。(★)

u(0、t)=u(L、t)=0 を境界条件とする。

このとき、(★)の特殊解として次を採用できる。

証明

u(x、t)=X(x)T(t) とおく。

これを(★)に代入すると、XTtt=cxxT である。

つまり、c−2tt/T=Xxx/X である。

いま、上式の左辺は t のみの関数であり、右辺は x のみの関数である。

よって、上式の両辺は定数である。

そこで、その定数を λ とおく。

いま、

(*1) X’’(x)=λX(x)

(*2) T’’(t)=cλT(t)

( つまり、偏微分方程式が2つの常微分方程式に分類された )

一方、次が成り立つ。(※境界条件)

(*3) X(0)T(t)=0、X(L)T(t)=0

T(t)=0 ( 零関数 ) は1つの解だが、これはつまらない解である。

そこで、X(0)=X(L)=0 となる解を求める。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

λ=p>0 の場合。

いま、(*1)の一般解は X(x)=aepx+be−px である。

これを(*3)に代入すると、a+b=0、aepL+be−pL=0 である。

よって、a=b=0 である。

つまり、X(x)=0 である。

しかし、これはつまらない解である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

λ=0 の場合。

いま、(*1)の一般解は X(x)=ax+b である。

これを(*3)に代入すると、a=b=0 である。

つまり、X(x)=0 である。

しかし、これはつまらない解である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

k=−p の場合。

いま、(*1)の一般解は X(x)=acospx+bsinpx である。

これを(*3)に代入すると、a=0、bsinpL=0 である。

上の第2式は p=nπ/L ( n=0、1、2、・・・ ) ならば、b≠0 となる解が存在することを意味する。

よって、X(x)=bsin(nπ/L) が解となる。( b ( n=1、2、・・・ ) は任意定数である )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

上の議論では λ=−(nπ/L) が固有値であることが示された。

さらに、(*2)を解くと、T(x)=ccosωt+dsinωt を得る。

ただし、ω=cp=cnπ/L であり、c と d は任意定数である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、

定義 ( 固有モード )

tt=cxx を1次元波動方程式とする。(★1)

既に示したように、(★)の特殊解として次を採用できる。(※P6)



明らかに、上式は次のように表せる。



ただし、c と φ は任意定数である。

さらに、次のように表せる。



つまり、x を固定すると、u(x、t) は ( t の ) 単振動である。

一方、D(x) を 『 固有モード 』 という。

とくに、n=1 の場合を 『 基本モード 』 という。

その他の場合を 『 n モード 』 という。

ちなみに、D(x)=0 となる点 x を 『 ノード 』 という。

また、D(x) が最大値をとる点 x を 『 アンチノード 』 という。

ノードは日本語で節(ふし)であり、アンチノードは日本語で腹(はら)である。

P7 ( 1次元波動方程式の解 )

tt=cxx を1次元波動方程式とする。(★1)

u(0、t)=u(L、t)=0 を境界条件とする。

u(x、0)=f(x)、u(x、0)=g(x) を初期条件とする。

このとき、(★)の解は、

証明

と u を(★)の解とする。

明らかに、u+u も(★)の解となる。

これを 『 重ね合わせの原理 』 という。

そこで、(★)の解として次を考えることができる。(※P6)



いま、



上式はフーリエ正弦級数展開である。

よって、次が成り立つ。(※注意:フーリエ余弦級数、正弦級数)

参考

P7 からストークスの波動公式を求めることができる。

証明

tt=cxx を1次元波動方程式とする。(★)

u(x、0)=f(x)、u(x、0)=g(x) を初期条件とする。

いま、(★)の特殊解として次を採用できる。(※P7)



いま、



また、注意(フーリエ正弦級数)より、



一方、



t=0 のとき、B に掛かる項 cosnπL−1(x+ct)−cosnπL−1(x−ct) は 0 である。

よって、上式の両辺を積分すると、



(*1)〜(*3)より、次のように計算できる。(※三角関数の加法定理)

P8 ( 波動方程式のエネルギー保存 )

tt=cxx を1次元波動方程式とする。(★1)

u(0、t)=u(L、t)=0 を境界条件とする。

いま、(★)の系がもつエネルギーは次式によって表される。



つまり、E(t)はポテンシャルエネルギー c と運動エネルギー u の総和である。(詳細は省略する)

このとき、次が成り立つ。

(1) エネルギー E(t) は時間に依存せず、一定である。

(2) (★)の解は、初期条件に対して一意である。

(1)の証明

次のように計算できる。



ただし、最後の計算は境界条件によって 0 になることに注意する。(★)

(★)の補足

もしかしたら、

「 境界条件は u(0、t)=u(L、t)=0 を最後の計算に用いることはできないのでは? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、つねに u(0、t)=u(L、t)=0 であることは u(0、t)=u(L、t)=0 を意味することに注意しよう。

(2)の証明

u’ と u’’ を、(★)の解とする。

u=u’−u’’とおく。

いま、u は(★)の解である。(※重ね合わせの原理)

また、u は境界条件 u(0、t)=u(L、t)=0 を満たす。

また、u は初期条件として u(x、0)=0、u(x、0)=0 を満たす。

よって、u(x、0)=0 である。

よって、E(0)=0 である。

よって、E(t)=0 である。

いま、c≧0、u≧0 である。

よって、u=0、u=0 である。(※E(t)=0)

よって、u(x、t) は定数である。

よって、u(x、t)=0 である。(※u(x、0)=0)

よって、u’=u’’である。

つまり、解は一意である。

P9 ( 無限区間での波動 )

tt=cxx を1次元波動方程式とする。(★1)

u(x、t)=X(x)T(t) とおいたとき、X(x)→0 (|x|→∞ ) であるとする。

u(x、0)=f(x)、u(x、0)=g(x) を初期条件とする。

このとき、(★)の解は、

証明

u(x、t)=X(x)T(t) とおく。

いま、次が得られる。(※P6の証明と同じ)

(*1) X’’(x)=λX(x)

(*2) T’’(t)=cλT(t)

また、次の場合が考えられる。(※P6の証明と同じ)

(*3) λ=p>0 ⇒ X(x)=aepx+be−px

(*4) λ=0 ⇒ X(x)=ax+b

(*5) λ=−p ⇒ X(x)=acospx+bsinpx

いま、定理の仮定より、X(x)→0 (|x|→∞ ) である。

この条件が満たされるのは(*5)の場合である。

よって、(*1)と(*2)は、次のように表せる。

(*6) X’’(x)+pX(x)=0

(*7) T’’(t)+cT(t)=0

いま、(*6)の一般解は、X(x)=Aeipx+Be−ipx である。

また、(*7)の一般解は、T(t)=Ceicpt+De−icpt である。

よって、(★の特殊解として次を採用できる。



よって、その重ね合わせを考えると、



ただし、p は連続的な値をとるので、重ね合わせは積分の形とした。

また、次が成り立つ。(※初期条件)



つまり、F−1[a(p)+b(p)](x)=f(x)、F−1[icp(p)+b(p)](x)=g(x) である。

よって、2π(a(p)+b(p))=F[f(x)](p)、2πicp(a(p)+b(p))=F[g(x)](p) である。

よって、

参考

P9 からストークスの波動公式を導くことができる。

証明

P9より、



つまり、