2次元波動方程式、膜の振動

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定義 ( フーリエ級数 )

f:[−L、L]→ をリーマン可積分関数とする。

次のように定義する。



このとき、S[f](x) を 『 f のフーリエ級数 』 という。

S[f](x)=f(x) が成り立つことを 「 f はフーリエ級数展開可能である 」 という。

定義 (フーリエ余弦級数、正弦級数 )

f:[0、L]→ をリーマン可積分関数とする。

次のように定義する。



このとき、Scos[f](x) を 『 フーリエ余弦級数 』 という。

また、Ssin[f](x) を 『 フーリエ正弦級数 』 という。

P1

tt=c(uxx+uyy) を2次元波動方程式とする。(★)

u(0、y、t)=u(x、0、t)=u(a、y、t)=u(x、b、t)=0 を境界条件とする。

u(x、y、0)=f(x、y)、u(x、y、0)=g(x、y) を初期条件とする。

このとき、(★)の解は、

補足

これは辺の長さが a と b である長方形膜の振動を記述する方程式である。

証明

u(x、y、t)=G(x、y)T(t) とおく。

これを(★)に代入すると、G−1(Gxx+Gyy)=c−2G’’/G=−λ である。

いま、

(*1) G’’+λG=0

(*2) Gxx+Gyy+λG=0

G(x、y)=X(x)Y(y) とおく。

これを(*2)に代入すると、X−1xx=−Y’Yyy−λ=−λ である。

いま、

(*3) Xxx+λX=0

(*4) Yyy+(λ−λ)Y=0

ここで、λ−λ が負の場合は不適である。

そこで、λ−λ=k とおく。

いま、(*1)の一般解は、X(x)=Acosλx+Bsinλx である。

また、(*2)の一般解は、Y(y)=Ccosky+Dsinky である。

いま、次が成り立つ。(※境界条件)

(*) u(0、y、t)=AY(y)T(t)=0

(*) u(a、y、t)=Bsin(aλ)Y(y)T(t)=0

(*) u(x、0、t)=CX(x)T(t)=0

(*) u(x、b、t)=Dsin(bk)X(x)T(t)=0

よって、A=0、λ=mπ/a ( m は整数 )、C=0、k=nπ/b ( n は整数 ) である。

以上により、Gm、n(x、y)=BDsin(mπa−1x)sin(mπb−1y) である。

(*1)より、Tm、n(t)=Pcos(λm、nct)+Qsin(λm、nct) である。

ただし、λm、n=λ=√(k+λ)=π√(m/a+n/b) である。

よって、



よって、



初期条件より、



ここで、次のようにおく。



すると、



上式は f(x、y) と g(x、y) のフーリエ正弦級数展開を意味する。

また、R と S はフーリエ係数である。

つまり、



一方、(*)より、R(y)のフーリエ係数は Am、n であり、S(y)のフーリエ係数は λm、ncBm、n である。

よって、