半無限空間の導体、導体の空洞(落雷を防ぐ方法)

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参考 ( 概要 )

このページでは次のことを示す。

(1) 半無限空間を満たす導体から生じる電場

(2) 導体の空洞では電場が生じない。

この2つは直接的には関連はないが、解法が少し似ているので同じページで扱うことにした。

また、この解法は有用である。

とくに、(2)は落雷時に導電性の箱内が安全であることの理由である。

参考 ( 静電場のマクスウェル方程式 )

静電場のマクスウェル方程式(積分形)は次のように表される。

上記の式を微分形で表すと、

(M1)を 『 ガウスの法則 』 という。

復習 ( E=−∇φ )

電場は E(r)=−∇φ(r) と表される。

とくに、電場の向きは等ポテンシャル面に垂直である。

参考 ( 導体内部でE=0、導体表面でφ=一定、導体外部でE⊥S )

静電場に導体を置く。

このとき、次が成り立つ。

(1) 導体内部の電場は 0 である。

(2) 導体内部(と表面)でポテンシャルは一定である。

(3) 導体外部の電場は(導体の)面に垂直である。

(4) 導体内部の電荷密度は 0 である。

(1)の証明

導体内に電場があると仮定する。

すると、その電場の向きに正電荷が移動する。

この移動によって生じる電場はもとの電場を打ち消す。

よって、最初から導体内に電場はないとしてよい。

(2)の証明

よく知られているように、E=−∇φである。

よって、(1)より、φは一定である。

(3)の証明

(2)より、導体表面は等ポテンシャル面である。

よって、導体外部の電場は表面に垂直である。(※参考:E=−∇φ)

(4)の証明

(1)より、導体内部の閉曲面 S に対して∫・ndS=0 である。

よって、ρ=0 である。(※参考:静電場マクスウェル方程式のガウスの法則)

P* ( 半無限空間の導体 )

3次元直交座標(x、y、z)において領域 x<0 を占める導体があるとする。

この導体の表面(x=0)に一様に電荷が分布しているとする。

その面密度はσであるとする。

この電荷から生じる電場は E=(σ/ε)e (x>0) である。

ただし、eは x 軸方向の単位ベクトルである。

補足

電場の向きが x 軸方向に平行であることは空間対称性より明らかであるとしてよい。

ただし、以下ではこのことをマクスウェル方程式に基づいてしっかりと示す。

補足

よく知られているように、2次元的な導体平面の両側から出る電場の強さは|E|=σ/ε である。

今回の定理は、この強さの2倍である。

むろん、これは両側から出るはずの電場が一面に集中していることによると考えることもできる。

証明

導体の内側と外側を表面に沿って進む閉経路を考える。

また、表面に沿う経路は導体表面に限りなく近いとする。



いま、∫・dr=0 である。(※参考:マクスウェル方程式)

また、導体の内側を表面に沿って通る経路の線積分は 0 である。(※参考:導体内部で電場はゼロ)

また、導体表面に垂直な経路の線積分は 0 である。(※経路が限りなく短いから)

以上により、導体の外側を表面に沿って通る経路の線積分は 0 である。

つまり、導体の外側で電場は経路に垂直である。

つまり、電場は x 軸方向である。

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導体内部と外部にまたがる直方体を閉曲面 S とする。

つまり、閉曲面 S は1つの面を導体の内部にもち、反対側の面を導体外部にもつ。

この閉曲面 S に含まれている導体表面の面積を A とする。



いま、閉曲面 S を内から外へ貫く電場の流束は |E|A である。

一方、閉曲面 S に含まれる全電荷は Aσ である。

よって、|E|A=Aσ/ε である。(※ガウスの法則)

よって、|E|=σ/ε である。

P* ( 導体の空洞内の電場はゼロ )

導体の空洞内の電場は 0 である。

また、空洞表面に電荷分布は存在しない。

これは 「 導体に強い電場をかけた場合 」 や 「 導体が強く帯電している場合 」 にも成り立つ。

補足

これは落雷時に導電性をもつ箱内が安全であることの理由である。

証明

導体中に含まれる閉曲面で、空洞を囲むものを S とする。



いま、閉曲面 S を内から外へ貫く電場の流束は 0 である。(※参考:導体内部で電場はゼロ)

よって、閉曲面 S の内部に含まれる電荷は 0 である。(※参考:ガウスの法則)

よって、空洞表面の全電荷は 0 である。

ただし、この時点では電荷の分布が一様に 0 であるとは主張できない。

つまり、正電荷と負電荷が混在して、その合計が 0 となっているだけである可能性がある。

そこで、空洞中と導体中を通る 『 任意 』 の閉曲線 C を考える。



いま、∫・dr=0 である。(※参考:マクスウェル方程式)

また、導体内部を通る経路の線積分は 0 である。(※参考:導体内部の電場はゼロ)

よって、空洞内を通る経路の線積分も 0 である。

以上のことが空洞中と導体中を通る 『 任意 』 の閉曲線について成り立つ。

よって、空洞において電場は 0 である。

よって、空洞表面の電荷は 0 である。