ラグランジュ運動方程式→ハミルトン正準方程式

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(*) ラグランジュ運動方程式

(*) ハミルトン正準方程式

参考 ( 2変数テイラー展開 )

2変数関数 f(x、y) のテイラー展開は、

定義 ( 汎関数 )

関数の集合を定義域としてもつ関数を 『 汎関数 』 という。

y=y(x) を関数とする。

よく知られているように、グラフ y の長さは、次式で表される。



むろん、Len[y] は実数である。

つまり、Len は、各関数 y(x) に対し、実数を割り当てる関数である。

つまり、Len は汎関数である。

定義 ( 作用、ラグランジアン )

x(t)を関数とする。

x(t)を t で微分したものを x(t) と表す。

関数 L(x(t)、x(t)) に対して次の汎関数 S を考える。



このような S を 『 作用 』 という。

また、Lを 『 ラグランジアン 』 という。

ラグランジアンの具体的な形は問題によって異なる。

P1 ( ラグランジュ運動方程式 )

S を作用とする。

つまり、



δS を x(t) を変位させたときの S の変分とする。

つまり、



ここで、両端固定 δx(t)=δx(t)=0 を仮定する。

さらに、任意の変分 δx に対して δS=0 であるとする。

このとき、



この方程式(*)を 『 ラグランジュ運動方程式 』 という。

補足

つまり、ラグランジュ運動方程式(*)は最小作用がみたすべき条件である。

むろん、(*)は最小作用であるとは限らない。

つまり、(*)は停留条件である。

補足

むろん、両端固定は境界条件である。

補足

ラグランジュ運動方程式は少し複雑に視えるかもしれない。

ただし、次のように間違えて記憶する心配はない。



実際、この式は次元が合っていないのですぐに間違いであると分かる。

このことに注意すればラグランジュ運動方程式は自然に記憶できるであろう。

証明

ラグランジアン L を1次まで展開することで次を得る。(※2変数テイラー展開)



つまり、



いま、δx=dδx/dt である。

よって、次のように計算できる。(※部分積分、両端固定)



よって、次を得る。(※δS=0)

P2 ( ハミルトン正準方程式 )

L(x、x)をラグランジアンとする。

次のように定義する。



このような p を 『 xに共役な運動量 』 という。

これを x について解けたとする。

つまり、x=x(x、p)と表せる。

ここで、次のように定義する。



このような H を 『 ハミルトニアン 』 という。

ここで、両端固定 δx(t)=δx(t)=0 を仮定する。

さらに、任意の変分 δx に対して δS=0 であるとする。

このとき、



この方程式を 『 ハミルトン正準方程式 』 という。

証明〜その1

いま、L=p・x−H である。

よって、



よって、その変分は次のように表される。(※参考:2変数テイラー展開)



よって、次を得る。(※δS=0)

証明〜その2

いま、H(x、p)=px(x、p)−L(x、x(x、p))である。

よって、