ハミルトン運動方程式

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参考 ( 概要 )

解析力学の最初の目標は次の同値性を示すことであろう。

(1) ニュートンの運動方程式

(2) ラグランジュ運動方程式

(3) ハミルトン運動方程式

しかし、一般の場合についてこれらの同値性を示す議論は長くなってしまう。

そこで、このページでは具体例を通して(1)〜(3)の同値性を確認する。

これにより、議論を素早く行い、議論全体を見通しよくできる。

P1 ( ラグランジュ運動方程式 )

K を質点の運動エネルギーとする。

U を質点のポテンシャルエネルギーとする。

L=K−U とおく。

このとき、次が成り立つ。

補足

(*)を 『 ラグランジュ運動方程式 』 という。

また、L を 『 ラグランジアン 』 という。

また、q を 『 一般化座標 』 である。

例えば、直交座標で1つの質点を考えるときは、q=x、q=y、q=z である。

証明

F=(F、F、F) を質点に作用する力とする。

F=(p、p、p) を質点の運動量とする。

いま、dp/dt=F、dp/dt=F、dp/dt=F である。

また、K=(1/2)m(x+y+z) である。

また、p=mx=∂K/∂x、p=my=∂K/∂y、p=mz=∂K/∂z である。

よって、



一方、



(*1)、(*2)より、

定義 ( 一般化運動量 )

、q、・・・ を一般化座標とする。

次のように定義する。



このとき、p、p、・・・を 『 一般化運動量 』 という。

定義 ( ハミルトニアン )

、q、・・・ を一般化座標とする。

、p、・・・ を q、q、・・・ に付く一般化運動量とする。

次のように定義する。



このとき、H を 『 ハミルトニアン 』 という。

ちなみに、ハミルトニアンという用語は量子力学という分野にも登場する。

それと区別するために、今回に定義したハミルトニアンを 『 古典的ハミルトニアン 』 と呼ぶこともある。

P2 ( ハミルトン運動方程式 )

次式はラグランジュの運動方程式に一致する。

補足

(*)を 『 ハミルトン運動方程式 』 という。

証明

既に注意したように、今回は一般の場合ではなくて、具体的な例を通して同値性を確認する。

今回は、バネの付いた単振り子を考える。



いま、質点の運動エネルギーは、



また、質点の(重力)ポテンシャルエネルギーは、



よって、ラグランジアンは、



よって、



よって、ラグランジュ運動方程式は、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

一方、(*1)より、一般化運動量は、



よって、



よって、ハミルトン運動方程式は、



いま、(*2)と(*3)は一致している。

つまり、ラグランジュ運動方程式とハミルトン運動方程式は一致する。

P3 ( ハミルトニアン=全力学的エネルギー )

H をハミルトニアンとする。

このとき、H=K+U である。

証明

P2の具体例で確認する。

既に P2 で示したように、



よって、