フーリエ反転公式[紹介ver]

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参考 ( 概要 )

フーリエ反転公式はフーリエ解析において最も基本的な定理である。

しかし、反転公式を厳密に議論することは難しい。

また、初級者向けの本ではこの辺りの議論が説明なしに省かれてしまうことも多い。

そこで、このページではフーリエ反転公式の要点を説明する。

定義 ( フーリエ変換 )

関数 f に対して次のように定義する。



このとき、F[f(t)](ω)を 『 f(t)のフーリエ変換 』 という。

むろん、F[f(t)](ω)はωを変数とする関数である。

簡略して F[f] と書くこともある。

定義 ( フーリエ逆変換 )

関数 f に対して次のように定義する。



このとき、F−1[f(ω)](t)を 『 f(t)のフーリエ逆変換 』 という。

むろん、F−1[f(ω)](t)は t を変数とする関数である。

簡略して F−1[f] と書くこともある。

参考 ( 反転公式 )

関数 f に対して次が成り立つ。

つまり、関数をフーリエ変換した後にフーリエ逆変換すると元に戻る。

また、関数をフーリエ逆変換した後にフーリエ変換すると元に戻る。

実は、これの厳密な証明にはいくつかの準備を必要とする。

その原因は関数の条件を詳細に議論する必要があることによる。

具体的には 『 急減少関数 』 のフーリエ変換から出発する必要がある。

急減少関数は言葉通り|x|の増大に対して急激に減少する関数である。

なぜ、急減少関数を出発点とするのか?

その理由は 「 急減少関数のフーリエ変換が急減少関数である 」 である。

つまり、急減少関数全体を S で表すと f∈S⇒F[f]∈S が成り立つ。

このことは 「 ガウス関数のフーリエ変換はガウス関数である 」 と関連する。

この詳細は別ページで議論する。

以下、反転公式を既知として定義(フーリエ変換)と定義(逆フーリエ変換)を書き直してみよう。

定義 ( フーリエ変換、フーリエ逆変換 )

関数 f に対して次のように定義する。





第1式を 『 f のフーリエ変換 』 という。

第2式を 『 Fのフーリエ逆変換 』 という。

既に確認したように、実は第2式は定義ではない。

つまり、第2式は反転公式に基づく定理である。

しかし、初学の段階で反転公式について議論すると必要以上に議論が複雑になってしまう。

ゆえに、反転公式を認める場合はこのように定義を書くことにする。