急減少関数のフーリエ変換、反転公式、プランシュレルの定理

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注意

次のように定義する。

この記号はしばらく後で使用する。

注意

次のように定義する。



ただし、次のように規約する。

参考 ( ライプニッツの公式〜その1 )

次が成り立つ。

証明

n=1 の場合、定理は (fg)’=f’g+fg’ を意味する。

n=k の場合について定理が成り立つとする。(数学的帰納法)

いま、



を f(r)(k−r+1) の係数とする。

r=0 の場合、



r≧1 の場合、



よって、

参考 ( ライプニッツの公式〜その2 )

次が成り立つ。

証明

明らかである。(※P1)

定義 ( 急減少関数 )

f(x) を 上の複素数値 C 級関数とする。

任意の自然数 m、n に対して supx∈|x||f(m)(x)|<∞ であるとする。

このとき、f を 『 急減少関数 』 という。

上の急減少関数全体を S() と表す。

ここでは複素数値としたが、これを実数値と考えても議論に大きな違いはない。

定義 ( フーリエ変換 )

f∈S() とおく。

次のように定義する。

上記の積分が収束することを確認する。

いま、C=supx∈|x||f(x)|<∞ である。(※定義:急減少関数)

とくに、|x|≧1 で|f(x)|≦c|x|−3 となる。

よって、



つまり、F[f] は意味をもつ。

定義 ( フーリエ逆変換 )

f(ξ)∈S() とおく。

次のように定義する。

P1

f∈S() とおく。

このとき、任意の自然数 r に対して次が成り立つ。

(1) xf∈S(

(2) f(r)∈S(

(1)の証明

参考(ライプニッツの公式〜その2)より、



また、k>r の場合は c(k)=0 となる。

よって、

(2)の証明

(1)と同様である。

P2 ( f∈S(R)⇒F[f]∈S(R) )

f、g∈S() とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) F(αf+βg)=αF[f]+βF[g] (α、β∈

(2) DξF[f](ξ)=F[xf](ξ)

(3) (−ξ)F[f](ξ)=F[Dξf](ξ)

(4) F[f]∈S(

補足

(1)と(2)の右辺が意味をもつことは保障されている。(※P1)

(4)は、S()がフーリエ変換に関して閉じていることを意味する。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

次のように計算できる。

(3)の証明

まず、m=1 の場合について考える。

いま、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、m の場合について定理が成り立つと仮定する。(数学的帰納法)

いま、



つまり、m+1の場合についても定理が成り立つ。

(2)の証明

(2)、(3)より、次が成り立つ。(※ライプニッツの公式〜その2)



よって、

P3 ( f∈S(R)⇒F−1[f]∈S(R) )

f、g∈S() とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) F−1(αf+βg)=αF−1[f]+βF−1[g] (α、β∈

(2) D−1[f](x)=F−1[(−ξ)f](x)

(3) x−1[f](x)=F−1[Dξf](x)

(4) F−1[f]∈S(

証明

P2と同様に示される。

P4 ( フーリエ変換、フーリエ逆変換は単射である )

f、g∈S() とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) F[f]=F[g] ⇒ f=g

(2) F−1[f]=F−1[g] ⇒ f=g

(1)の証明

これの証明は長くなるので省略する。

(2)の証明

いま、



つまり、F−1[f](x)=F[f](x) である。

同様に、F−1[g](x)=F[g](x) である。

よって、F[f](x)=F[g](x) である。

よって、F[f](x)=F[g](x) である。

よって、(1)より、f=g である。

よって、f=g である。

P5 ( フーリエの反転公式 )

f∈S() に対して次が成り立つ。

(1) F−1F[f]=f

(2) FF−1[f]=f

(1)の証明

これの証明は長くなるので省略する。

(2)の証明

g=F−1[f] とおく。

いま、g∈S() である。(※P3)

よって、(1)より、F−1F[g]=g である。

つまり、F−1FF−1[f]=F−1[f] である。

よって、FF−1[f]=f である。(※P4)

P6 ( プランシュレルの定理 )

f、g∈S() とおく。

このとき、次が成り立つ。

証明

次のように計算できる。(※P5:フーリエの反転公式)