電磁気学と相対論を結ぶ橋(SI単位系、ローレンツ単位系、アインシュタインの発想)

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) SI単位系とローレンツ単位系

(2) 相対性原理(アインシュタインの発想)

(3) 初等的な電磁気学に相対性原理を要請し、ローレンツ収縮を見つける。

電磁気学は相対性理論の前身である。

しかし、実は、電磁気学と相対論では異なった単位系が採用されることが多い。

実際、電磁気学では 『 SI単位系 』 が採用され、相対論では 『 ローレンツ単位系 』 が採用される。

ゆえに、これによって入門者が迷う可能性がある。

そこで、このページでは 「 SI単位系 」 と 「 ローレンツ単位系 」 の変換を説明する。

これによって電磁気学と相対論をつなげ、アインシュタインが相対論に至った経緯を説明する。

参考 ( 単位系 )

「 SI単位系 」 から 「 ローレンツ単位系 」 への変換は次のように表せる。

十分長い直線電流 I まわりの 「 電場、磁場、ローレンツ力 」 を各単位系で表してみよう。

よく知られているように、これは SI単位系で次のように表される。、



これをローレンツ単位系に書き換えると、



ただし、上の書き換えでは √(με)=1/c に注意しよう。

要請 ( 相対性原理 )

どのような物理法則も静止と運動を区別できない。

例えば、一定速度で運動する箱を考える。

この箱の内部にいる人は、箱が動いていることを知ることができるだろうか?

直観的にも分かるように、これは難しい。

例えば、箱の中でボールを投げたり、落としたりしてみよう。

しかし、このような物理法則は箱が静止している場合と同じである。

上では力学的現象に対して相対性原理を確認した。

では、電磁気的現象ならばどうであろうか?

「 直線電流 I 」 と 「 一辺が長さ L の正方形である1巻コイル C 」 が同一平面上にあるとする。

コイル C の一辺は電流 I と平行であるとする。

ここで、次の2通りの場合を考える。

(1) C を I に相対速度 v で近づける。

(2) コイル C を静止させて直線電流 I を C に相対速度 v で近づける。

このとき、直線電流上またはコイル上にいる 『 アリ(蟻)』 は(1)と(2)を区別できるであろうか?

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まず、(1)について考える。

つまり、コイル C を I に相対速度 v で近づける。

いま、直線電流 I から最も近い辺までの距離は r=r−vt と表される。

よって、コイルに生じる起電力は次のように表される。(※参考(単位系)の補足)



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、(2)について考える。

つまり、コイル C を静止させて直線電流 I を C に相対速度 v で近づける。

いま、コイル C の内部で、電流 I に最も近い辺から距離 x における磁場は、



よって、コイル C を貫く磁束は、



よって、起電力は次のように表される。(※ファラデーの法則)



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)と(*2)は同じ形をしている。

つまり、直線電流 I やコイル C 上にいるアリは(1)と(2)を区別できない。

よく考えると、上記の議論は驚異的である。

なぜなら、(1)と(2)によって生じる起電力は別の物理法則によって求められたものだからである。

つまり、別の物理法則から導かれた結果が同じ値をもつ。

これはマクスウェル方程式(ローレンツ力やファラデーの法則)の奥にカラクリがあることを示唆する。

そのカラクリとして 『 相対性原理 』 が思い付く。

つまり、「 すべての物理法則は静止と運動を区別できない 」 という主張である。

既に確認したように、力学だけでなく、電磁気学においても静止と運動は区別できない。

ゆえに、相対性原理を要請することは不自然ではないだろう。

実際、アインシュタインが相対性原理を採用した根拠は上記の電磁気学現象による。

このことはアインシュタインが自身の論文の冒頭などで述べている。

参考 ( 初等電磁気学に相対性原理を要請してローレンツ収縮を見つける )

電気密度ρの直線電荷が静止しているとする。

いま、周囲の電場(ローレンツ単位系)は、



この電荷全体を直線に沿って一定の速さ v で動かす。

つまり、これは直線電流である。

運動している場合の電荷密度は静止している場合(つまりρ)と同じであるとする。(★)

( 実は、後で議論するように、仮定(★)は棄却される )

いま、周囲の磁場(ローレンツ単位系)は、



ここで、等しい電荷密度をもつ2本の直線電荷が平行に置かれているとする。

その間の距離は R であるとする。

さらに、これらは平行に速度 v で運動しているとする。

電場によって直線電荷間に働く力は、次のように表される。(※参考(単位系)の補足)



磁場によって直線電荷間に働く力は、次のように表される。(※参考(単位系)の補足)



よって、合力は次のように表される。(※Fは斥力であり、Fは引力であることに注意)



つまり、電荷が静止しているとき、電荷間に働く力は最大となる。

つまり、力を測定することで静止と運動の区別が付く。

しかし、これは要請(相対性原理)に反する。

つまり、仮定(★)は棄却される。

つまり、電荷密度は 「 静止している場合 」 と 「 運動している場合 」 で異なる。

そこで、運動している場合の電荷密度が次のように表されると仮定する。



すると、合力 F は速度に依存しない。

つまり、相対性原理が満たされる。

明らかに、ρ’>ρである。

これを 『 ローレンツ収縮 』 という。

補足

もしかしたら、「 ρ’の方が値が大きいから収縮していないのでは? 」 と疑問に思う人がいるかもしれない。

詳しく言うと、「 空間が収縮したので、電荷密度が増加した 」 ということである。

ローレンツ収縮については別ページで詳しく議論している。