テンソルの変換則→変位勾配テンソル→歪みテンソル→適合方程式

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注意 ( アインシュタインの規約 )

1つの項の中で指標が繰り返し現れる場合、その指標について総和をとる。

このようなルールを 『 アインシュタインの規約 』 という。

例えば、i=1、2、3 である場合、a は a+a+a を意味する。

注意 ( 偏微分の略記 )

このページでは ∂f/∂x を f、x と表す。

例えば、f=(f、f、f) とおく。

この場合、∂f/∂ は fx、x と表される。

また、∂/∂z は fy、zz と表される。

参考

i、j=1、2、3 とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)〜(4)の証明

明らかである。

P1 ( 回転行列 )

Ox を2次元直交座標とする。

この座標系の原点を固定し、反時計回りに角度θだけ回転させる。

回転後に新しくできた座標系を Ox’x’とする。

点 P を Ox であらわした座標を (x、x) とし、Ox’x’で表した座標を (x’、x’) とする。

このとき、



このような座標変換行列を 『 回転行列 』 という。

証明

下図によって分かる。

P2 ( 回転行列の逆行列は転置行列である )

回転行列の逆行列は転置行列である。

つまり、回転行列 M=(αij) に対して次が成り立つ。

補足

証明は2通り用意した。

証明〜その1

計算すると、

証明〜その2

M=(αij)を回転行列とする。

点 P を、点(1、0)を M によって回転させた後の座標とする。

点 Q を、点(0、1)を M によって回転させた後の座標とする。

いま、点 P=(α11、α21) であり、点 Q=(α12、α22) である。

また、|OP|=1 であり、|OQ|=1 である。(★1)

また、OP⊥OQ である。(★2)



(★1)より、α11+α12=1 であり、α21+α22=1 である。

(★2)より、α11α21+α12α22=0 である。

よって、αikαjk=δij である。

つまり、MM=I ( I は単位行列 ) である。

以上の証明は3次元の回転に対しても同様に成り立つ。

P3 ( 回転行列の成分は方向余弦である )

回転行列の各成分は方向余弦である。

つまり、x’と x 軸の方向余弦を αij とすると、

補足

(2)は(1)の逆変換である。

(1)の証明

P1の証明に書いた図より明らかである。

’と x の方向余弦は α11=cosθである。

’と x の方向余弦は α12=cos(π/2−θ)=sinθである。

’と x の方向余弦は α21=cos(π/2+θ)=−sinθである。

’と x の方向余弦は α22=cosθである。

(2)の証明

既に示した。(※P2)

定義 ( テンソル )

=T(x) を線形変換とする。

、e、e を直交座標系の基底ベクトルとする。

=(a、a、a を任意のベクトルとする。

=T(a) とおく。

いま、次のように表せる。



よって、



ここで、b=(b、b、b とおく。

つまり、b=b+b+b である。

よって、



つまり、



この Tij を 『 テンソル 』 という。

上ではテンソルが行列として表されている。

ただし、一般にテンソルが行列で表されるわけではない。

P4 ( テンソルの変換則 )

T=(Tij)をテンソルとする。

M=(αij)を回転行列とする。

T’を、T を M によって座標変換したものとする。

このとき、

(1)と(2)の証明

いま、b=Ta である。(★1)

また、a’=Ma である。

また、b’=Mb である。

また、b’=T’a’ である。

よって、Mb=T’Ma である。

よって、b=MT’Ma である。(※P2)(★2)

(★1)、(★2)より、T=MT’M である。

つまり、T’=MTM である。

これを成分で表すと(2)を得る。

P5 ( tr(T)=tr(T’))

テンソルの対角成分の和は、座標回転の前後で変化しない。

補足

テンソル T の対角成分の和を tr(T) と表す。

つまり、tr(T)=T11+T22+T33 である。

tr(T)を 『 Tのトレース 』 という。

証明

次のように計算できる。(※P4、P2)

定義 ( 変位勾配テンソル )

弾性体に変形が生じるとする。

弾性体内部の任意の点(x、y、z)の変位を(u、u、u)とする。

次のように定義する。



この(*)を 『 変位勾配テンソル 』 という。

つまり、変位勾配テンソルは、変位の(各方向に対する)変化率を成分としてもつ。

つまり、ベクトル A=(A)の変化後を A’=(A’)とすると、A’=A+ui、j である。

定義 ( 歪みテンソル、回転テンソル )

変位勾配テンソル [ui、j] を次のように表す。



このとき、[eij] を 『 歪みテンソル 』 という。

また、[ωij] を 『 回転テンソル 』 という。

明らかに、歪みテンソルは対称テンソルである。(※eij=eji

また、回転テンソルは非対称テンソルである。(※ωij=−ωji

実際に書き下すと、



「 歪み 」 は 「 ひずみ 」 と読む。

「 ゆがみ 」 ではないので注意。

P6

ベクトル A=(A) を変位勾配テンソルによって変換したものを A’=(A’) とすると、



むろん、変形が歪のみである場合は、



また、変形が回転のみである場合は、

(1)〜(3)の証明

明らかである。(※定義:変位勾配テンソル)

P7 ( グリーンテンソル )

、B をベクトルとする。

変形によって A と B が、A’ と B’ に変化したとする。

このとき、



とくに、微小変形の場合は、

補足

(1)の Eij を 『 グリーンテンソル 』 という。

(1)と(2)の証明

いま、次が成り立つ。(※定義(変位勾配テンソル)の補足)





よって、



ただし、



微小変位の場合、2次の項は無視できるので、

定義 ( 主歪、主軸 )

一般に、せん断歪み(歪みテンソルの非対角成分)は 0 ではない。

ただし、座標系を回転させることで、せん断歪みを 0 にできる。(※歪みテンソルは対称テンソル)

せん断歪みが 0 であるとき、その変形は座標軸方向の伸縮だけで表現できる。

その伸縮の割合を 『 主歪 』 という。

その座標軸を 『 主軸 』 という。

P8 ( 体積歪 )

(1) 主歪は次の3次方程式がもつ3つの実数解(固有値)として求められる。



(2) 主軸は次の固有ベクトル x によって表される。



(3) 上の(*1)の解(つまり主歪)を e、e、e とすると、(*1)は次のように表される。



(4) 座標系が主軸方向と一致していない場合は、



とくに、θ を 『 体積歪 』 という。

(5) 体積歪は変形によって生じる単位体積あたりの体積変化量である。

(1)と(2)の証明

主歪は主軸方向に伸縮する。

つまり、次の固有方程式を解けばよい。

(3)の証明

むろん、(*1)は (e−e)(e−e)(e−e)=0 と表せる。

これを展開すればよい。

(4)の証明

(*1)を余因子展開すればよい。

(5)の証明

立方体の体積を V=L とする。(★1)

x軸、y軸、z軸方向の主歪を e、e、e とする。

変形後の体積は (1+e)(1+e)(1+e)L である。(★2)

よって、体積変化は (★2)−(★1) より、ΔV≒(e+e+e)L である。

よって、単位体積あたりの体積変化量は ΔV/V=e+e+e である。

P9 ( 適合方程式〜歪ver )

次が成り立つ。

証明

定義(歪みテンソル)より、



上式の両辺について2階微分をとると、



上式から変位成分を消去すると、目的の式を得る。