偏微分方程式の分類、重ね合わせの原理、フーリエの方法

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参考 ( 2階定数係数線形偏微分方程式の分類 )

auxx+2buxy+cuyy+du+eu+fu=g(x、y) を2階定数係数線形偏微分方程式とする。(★)

ただし、u=u(x、y) である。

また、a、b、c、d、e、f は実数である。

このとき、auxx+2buxy+cuyy を 『 (★)の主要部 』 という。

また、aλ+2bλ+c=0 を 『 (★)の特性方程式 』 という。

ここで、D=b−ac を特性方程式の判別式とする。

このとき、(★)を次のように分類する。

(1) D>0 : 双曲型

(2) D=0 : 放物型

(3) D<0 : 楕円型

これは ax+2bxy+cy=1 が双曲線、放物線、楕円になることに由来する。

双曲型、放物型、楕円型を一般的に議論することは難しい。

そこで、偏微分方程式の入門では各型の代表的な方程式を扱う。

具体的には、次の通りである。

(*1) 双曲型 : utt−cxx=0 波動方程式

(*2) 双曲型 : u−κuxx=0 熱伝導方程式

(*3) 双曲型 : uxx+uyy=0 ラプラス方程式

これらはいずれも 『 フーリエの方法 』 によって解ける。

フーリエの方法とは、最初に特殊解を求め、その重ね合わせによって解を表す方法である。

フーリエの方法については以下で述べる。

偏微分方程式を解くときには物理的に意味のある条件を付ける。

具体的には 『 初期条件 』 と 『 束縛条件 』 である。

とくに、境界における束縛条件を 『 境界条件 』 という。

双曲型と放物型に対しては、境界条件と(波形を記述する)初期条件を付けることが適切である。

このような問題を 『 混合問題 』 という。

楕円型に対しては、境界での値を指定して内部の値を求める。

このような問題を 『 境界値問題 』 という。

注意 ( 重ね合わせの原理 )

auxx+2buxy+cuyy+du+eu+fu=g(x、y) を2階定数係数線形偏微分方程式とする。(★)

(x、y) と u(x、y) を、(★)の解とする。

このとき、明らかに、u+u も(★)の解である。

これを 『 重ね合わせの原理 』 という。

例えば、u=2u について考えてみよう。(★★)

v と w を、(★★)の解とする。

いま、v=2v であり、w=2w である。

よって、(v+w)=2(v+w) である。

つまり、v+w は(★★)の解である。

P1

=3u を偏微分方程式とする。(★)

ただし、u=u(x、y) である。

u(x、0)=e2x を初期条件とする。

このとき、(★)の解は u(x、y)=e2x6y である。

証明

u(x、y)=X(x)Y(y) とおく。(変数分離法)

これを(★)に代入すると、X(x)Y’(y)=3X’(x)Y(y) である。

つまり、3X’(x)/X(x)=Y’(y)/Y(y) である。

上式の左辺は x のみの関数であり、右辺は y のみの関数である。

よって、これは定数である。

そこで、3X’(x)/X(x)=Y’(y)/Y(y)=λ とおく。

すると、

(*1) 3X’(x)−λX(x)=0

(*2) Y’(y)−λY(y)=0

( つまり、偏微分方程式が常微分方程式に分離された )

いま、(*1)の一般解は X(x)=Ae(λ/3)x である。

また、(*2)の一般解は Y(y)=Beλy である。

よって、u(x、y)=ABe(λ/3)xλy である。

また、u(x、0)=ABe(λ/3)x=e2x である。(※初期条件)

よって、AB=1、λ=6 である。

よって、u(x、y)=e2x6y である。

P2

=−2u を偏微分方程式とする。(★)

u(x、0)=e+2e−2x+5 を初期条件とする。

このとき、(★)の解は、u(x、y)=e−2y+2e−2x4y+5 である。

証明

u(x、y)=X(x)Y(y) とおく。(変数分離法)

これを(★)に代入すると、XY’=−2X’Y である。

つまり、−2X’/X=Y’/Y=λ ( 定数 ) である。

いま、

(*1) 2X’+λX=0

(*2) Y’−λY=0

いま、(*1)の一般解は、X(x)=Ae−(λ/2)x である。

また、(*2)の一般解は、Y(y)=Beλy である。

よって、u(x、y)=ABe−(λ/2)xλy である。

しかし、上式においてλをどのように選んでも初期条件は満たされない。

そこで、u(x、y)=c−(λ/2)xλ+c−(λ/2)xλ+c とおく。(重ね合わせの原理)

いま、u(x、0)=c−(λ/2)x+c−(λ/2)x+c=e+2e−2x+5 である。(※初期条件)

よって、c=1、c=2、c=5、λ=−2、λ=4 である。

よって、u(x、y)=e−2y+2e−2x4y+5 である。

参考

上では、有限個の重ね合わせを考えた。

一方、波動方程式などの議論では無限個の重ね合わせを考える。

詳しくは他のページで扱う。