偏差応力の要請→弾性体の構成式

サイトのTOP→理系インデックス





参考 ( 概要 )

このページでは 『 弾性体の構成式 』 を導く。

復習 ( 応力テンソルの物理的意味 )

(1) 応力テンソルの対角成分は、各座標面に働く応力の垂直成分である。

(2) 応力テンソルの非対角成分は各座標面に働く応力のせん断成分である。

復習

対称行列は対角化可能である。

要請 ( 偏差応力の対角化 )

ある回転行列 P が存在して次の(1)と(2)を同時に満たす。

(1) P は応力σを対角化する。

(2) P は歪みテンソルεを対角化する。

定義 ( ヤング率、ポアソン比 )

ε’=P−1εP を対角化された歪みテンソルとする。

σ’=P−1σP を対角化された応力テンソルとする。

ただし、P は直交行列であるとする。

弾性体に対して次が成り立つ。







これらの式を 『 フックの法則 』 という。

E を 『 ヤング率(縦弾性係数)』 といい、νを 『 ポアソン比 』 という。

フックの法則はバネの張力を表す式 F=kx として知られている。

今回の主張は、その3次元バージョンである。

第1式に注目する。

第1式の第2項と第3項がない場合、ε11’=(1/E)σ11’である。

つまり 「 e’方向の伸び縮み 」 と 「 e’方向の垂直応力σ11’ 」 が比例する。

また、σ22’と σ33’の係数は負である。

これは e’方向の伸びに対して e’方向と e’方向では縮みが生じることを意味する。

P* ( 弾性体の構成式 )

弾性体に対して次が成り立つ。

補足

上式においてεは歪みテンソルである。

証明

定義(ヤング率、ポアソン比)の式を変形すると、







ただし、Θ’=σ11’+σ22’+σ33’である。

これはテンソルの座標変換不変量である。(※復習:テンソルの座標変換不変量)

つまり、Θ’=σ11’+σ22’+σ33’=trσ’=trσ=Θ である。

以上により、



上式の両辺に左から L を掛け、右から L−1 を掛けると、

定義 ( 工学歪み、剛性率 )

歪みテンソルを次のようにおく。



この ε、γxy=γyx などを 『 工学歪み 』 という。

応力テンソルを次のようにおく。



これを用いてP*(弾性体の構成式)を書き換えると、













とくに、非対角成分は、



このとき、G を 『 剛性率(横弾性係数)』 という。

定義 ( 体積歪み、ラメ定数 )

フックの法則を改めて書くと、



式変形すると、



つまり、







ただし、e=trε’であり、これはテンソルの座標変換不変量である。(※復習:テンソルの座標変換不変量)

つまり、



このような e を 『 体積歪み 』 という。

また、次のように表せる。



上式両辺の左から L を掛け、右から L−1 を掛ける。



このμとλを 『 ラメ定数 』 という。

実は、μ=G である。(※定義:剛性率)