偏差応力の要請→ニュートン流体の構成式

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復習 ( 概要 )

このページでは 『 ニュートン流体の構成式 』 を導く。

復習 ( 応力テンソルの物理的意味 )

(1) 応力テンソルの対角成分は、各座標面に働く応力の垂直成分である。

(2) 応力テンソルの非対角成分は各座標面に働く応力のせん断成分である。

定義 ( 偏差応力テンソル )

静止流体中では任意の単位ベクトル n に対してσ(n)=−pn である。(※定義:圧力)

また、σ=−pI である。(※定義(圧力)の補足)

そこで、運動する流体中の応力テンソルを σ=−pI+τ とおく。

このとき、τを 『 偏差応力テンソル 』 という。

つまり、τは静止状態からの「ずれ」を意味する。

よく知られているように、応力テンソルは対称である。

よって、偏差応力も対称である。

復習

対称行列は対角化可能である。

復習 ( テンソルの座標変換不変量 )

T=(Tij) を2階テンソルとする。

このとき、次の量は座標変換に対して不変である。

(1) trT

(2) (trT)−tr(T

(3) detT

復習 ( 速度場のオイラー表示 )

L=D+W を速度勾配テンソルとする。

つまり、



このとき、次が成り立つ。

D を 『 歪み速度テンソル 』 という。

W を 『 回転速度テンソル 』 という。

要請 ( 偏差応力の対角化 )

ある直交行列 P が存在して次の(1)と(2)を同時に満たす。

(1) P は偏差応力τを対角化する。

(2) P は歪み速度テンソル D を対角化する。

対角化された偏差応力は 「 偏差応力は垂直成分をもつが、せん断成分をもたない 」 を意味する。

対角化された歪み速度テンソルは 「 伸び縮み変形はあるが、せん断変形はない 」 を意味する。

この2つが同じ直交行列 L によってもたらされると要請することは自然である。

定義 ( ニュートン流体 )

次の条件(1)〜(3)を満たす流体を考える。

(1) 線形性 : 偏差応力は歪み速度に1次で依存する。

(2) 同次性 : 3方向の伸び縮みがなければ、偏差応力はない。

(3) 等方性 : 3方向に対する歪み速度の特性は等しい。

このような流体を 『 ニュートン流体 』 という。

P* ( ニュートン流体の構成式 )

ニュートン流体に対して次が成り立つ。

補足

μを 『 粘性係数 』 という。

λを 『 体積粘性係数 』 という。

補足

ストークスの仮説 λ=(−2/3)μ を代入すると、



実際にはこの形が用いられることが多い。

ただし、ストークスの仮説については別ページで議論する。

証明

復習(速度場のオイラー表示)より、



上式右辺の第1項は「並進」であり、第2項は「変形」であり、第3項は「剛体回転」である。

並進と剛体回転は応力を静止状態から逸脱させない。

よって、偏差応力τは第2項によって生じる。

つまり、τは D で表示できる。

しかし、τや D の独立成分は6個ずつである。(※τとDは対称行列)

このままでは成分が多すぎる。

そこで、直交行列によってτと D を対角化する。(※復習:対称行列は対角化可能)

それを次のように表す。(※要請:偏差応力の対角化)





いま、







第1式に注目する。

定義(ニュートン流体)の条件(1)より、次のようにおくことができる。



定義(ニュートン流体)の条件(2)より、d=0 である。

いま、τ11’は e’方向の垂直偏差応力である。

よって、a≠b である。

一方、定義(ニュートン流体)の条件(3)より、b=c である。

以上により、



同様に、





次のように変形する。







ただし、



ここで、Θ’はテンソルの座標変換不変量である。(※復習:テンソルの座標変換不変量)

つまり、



以上により、τ’=2μD’+λΘI である。

この式は非対角成分が 0 であることも含めていることに注意。

また、両辺の左から L を掛け、右から L−1 を掛けると、τ=2μD+λΘI である。

よって、σ=−pI+2μD+λΘI である。(※定義:偏差応力)