変分原理、オイラー方程式、汎関数、最速降下線、サイクロイド

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定義 ( 汎関数 )

関数の集合を定義域としてもつ関数を 『 汎関数 』 という。

y=f(x) を関数とする。

よく知られているように、f(x)のグラフの長さは、次式で表される。



むろん、Len[y] は実数である。

つまり、Len は、各関数 y(x) に対し、実数を割り当てる関数である。

つまり、Len は汎関数である。

参考

y=f(x) を関数とする。

y=f(x) の極値を求めるためには、df/dx=0 を満たす x を求めればよい。

このことを別の視点から考えてみよう。

いま、f(x) は x=x で極値をとるとする。

ここで、x を微小変化 x→x+dx させる。

すると、f(x) の変化は df|x=x=f(x+dx)−f(x)=f’(x)dx=0 である。

このように、f(x)は極値点で df|x=x=0 である。

以下、同様のことを汎関数 F(x、y、y’) に対して考える。

ここで、F(x、y、y’) とは、x、y(x)、y’(x) を変数とする汎関数である。

既に確認したように、Len は y’ を変数とする汎関数である。

その他の具体例も後で紹介する。

ちなみに、F(x、y、y’) について、y と y’ は互いに独立している。

このとき、

「 y と y’ は互いに関連しているから独立ではないのでは? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

例えば、物質を落下させるとき、初速度を変化させれば、同じ y=0 の地点において y’ は異なる。

このように、y とは無関係に y’ を変更できるので、y と y’は互いに独立している。

P1 ( オイラー方程式 )

F(x、y、y’) を汎関数とする。

次のように定義する。



任意の微小変化 δy ( ただし δy(a)=0、δy(b)=0 とする ) に対して δI=0 であるとする。

このとき、



この式を 『 オイラー方程式 』 という。

補足

上で仮定したように、δy(a)=0、δy(b)=0 である。

つまり、これは、y を x=a と x=b で両端固定して、y を変化させることを意味する。

補足

微小変化 δy に対する I[y] の微小変化 δI を 『 変分 』 という。

証明

y=f(x) を関数とする。

y(x) の両端を (a、A)、(b、B) と表す。

両端 (a、A) と (b、B) を固定して、y=f(x) を微小変化させる。

このような微小変化を δy と表す。

つまり、微小変化させた後の関数は y=f(x)+δy(x) と表される。

関数 f の微小変化 δy に対する I[y] の変化を δI と表す。

つまり、δI=I[y+δy]−I[y] である。(★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

一般に、



よって、



つまり、



( むろん、δy’は、δy に伴う y’ の微小変化を意味する )

よって、



よって、(★)より、



よって、

参考

平面内の2点を結ぶ曲線で、長さが最小となるものは直線である。

証明

P=(a、A)、Q(b、B) を xy 平面上の2点とする。

y=y(x) を、P と Q を結ぶ曲線とする。

よく知られているように、曲線の長さは次式で表される。



ここで、F(x、y、y’)=√(1+(y’)) とおく。

いま、次の極小値を求めればよい。



オイラー方程式は次のように表される。(※P1)



積分すると、y’/√(1+(y’))=c ( 定数 ) である。

よって、y’=c ( 定数 ) である。

よって、y=cx+c である。

つまり、解は直線である。

参考 ( 最速降下線はサイクロイドである )

高さの異なる2点 O と B をつなぐ滑らかな曲線を考える。

質点が、この曲線に沿って O から B まで滑り落ちるとする。

このとき、O から B まで滑り落ちるまでの時間が最小となる曲線はサイクロイドである。

証明

下図のように座標をとる。



いま、x における質点の速さは √(2gx) である。

曲線の微小距離は ds=√(dx+dy) である。

よって、



よって、質点が x=0 から x=b に達するまでの時間は、



つまり、



よって、オイラー方程式は、



積分すると、



ここで、次のようにおく。



両辺を2乗すると、



よって、



ここで、x=a(1−cosθ) とおくと、



よって、



これはサイクロイドと呼ばれる曲線である。