変分法→最速降下線(サイクロイド)

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復習 ( ラグランジュ運動方程式 )

S を作用とする。

つまり、



δS を x(t) を変位させたときの S の変分とする。

つまり、



ここで、両端固定 δx(t)=δx(t)=0 を仮定する。

さらに、任意の変分 δx に対して δS=0 であるとする。

このとき、



この方程式(*)を 『 ラグランジュ運動方程式 』 という。

補足

Kを運動エネルギーとし、Vをポテンシャルとする。

ラグランジアンを L=K−V で定める。

つまり、



すると、ラグランジュ運動方程式は、



つまり、ニュートンの運動方程式が導かれた。

復習 ( ハミルトン正準方程式 )

L(x、x)をラグランジアンとする。

次のように定義する。



このような p を 『 xに共役な運動量 』 という。

これを x について解けたとする。

つまり、x=x(x、p)と表せる。

ここで、次のように定義する。



このような H を 『 ハミルトニアン 』 という。

ここで、両端固定 δx(t)=δx(t)=0 を仮定する。

さらに、任意の変分 δx に対して δS=0 であるとする。

このとき、



この方程式を 『 ハミルトン正準方程式 』 という。

補足

pが運動量に相当することを確認しよう。

まず、ラグランジアンを L=K−V で定める。

つまり、



すると、p=∂L/∂x=mx である。

つまり、



たしかに、pは運動量に相当する。

また、



つまり、ハミルトニアン H は全エネルギーに相当する。

P* ( 長さが最小の曲線は直線である )

平面内の2点を結ぶ曲線で、長さが最小となるものは直線である。

証明

P=(a、A)、Q(b、B) を xy 平面上の2点とする。

y=y(x) を、P と Q を結ぶ曲線とする。

よく知られているように、曲線の長さは次式で表される。



ここで、F(x、y、y’)=√(1+(y’)) とおく。

いま、次の極小値を求めればよい。



ラグランジュ運動方程式は次のように表される。(※復習:ラグランジュ運動方程式)



積分すると、y’/√(1+(y’))=c ( 定数 ) である。

よって、y’=c ( 定数 ) である。

よって、y=cx+c である。

つまり、解は直線である。

P* ( 最速降下線はサイクロイドである )

高さの異なる2点 O と B をつなぐ滑らかな曲線を考える。

質点が、この曲線に沿って O から B まで滑り落ちるとする。

このとき、O から B まで滑り落ちるまでの時間が最小となる曲線はサイクロイドである。

証明

下図のように座標をとる。



いま、x における質点の速さは √(2gx) である。

曲線の微小距離は ds=√(dx+dy) である。

よって、



よって、質点が x=0 から x=b に達するまでの時間は、



つまり、



よって、ラグランジュ運動方程式は次のように表される。(※復習:ラグランジュ運動方程式)



積分すると、



ここで、次のようにおく。



両辺を2乗すると、



よって、



ここで、x=a(1−cosθ) とおくと、



よって、



これはサイクロイドと呼ばれる曲線である。