2階テンソルの座標変換は相似変換である

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注意 ( 指標規約(アインシュタインの規約))

1つの項の中で指標が繰り返し現れる場合、その指標について総和をとる。

このようなルールを 『 アインシュタインの規約 』 という。

例えば、i=1、2、3 である場合、a は a+a+a を意味する。

注意 ( 交代記号(エディントンのイプシロン) )

εijk が次の(1)〜(3)を満たすとする。

(1) 指標(i、j、k)が(1、2、3)の偶置換である場合は εijk=+1 である。

(2) 指標(i、j、k)が(1、2、3)の奇置換である場合は εijk=−1 である。

(3) 指標(i、j、k)が同じ指標を2つ以上もつ場合は εijk=0 である。

このとき、εijk を 『 交代テンソル 』 という。

つまり、ε123=ε231=ε312=1であり、ε132=ε321=ε213=−1である。

また、上記以外の場合は εijk=0 である。

例えば、ベクトル v=(v、v、v) に対して次のように表記できる。

定義 ( 線形形式 )

V をベクトル空間とする。

f:V→ を線形写像とする。

このとき、f を 『 線形形式 』 という。

定義 ( p階テンソル )

、・・・、V をベクトル空間とする。

T:V×・・・×V は各ベクトル空間に関して線形であるとする。

つまり、T(v、・・・、v)は各 v に関して線形であるとする。

このとき、T を 『 p重テンソル(p次線形形式)』 という。

とくに、V=・・・=V である場合、これを 『 p階テンソル 』 という。

ここではテンソルと線形形式は同じであるとして定義した。

ただし、テンソルという概念をさらに一般化・抽象化することは可能である。

T:V×V→ を T(v、w)=v・w で定義する。

明らかに、この T は2階テンソル(双線形形式)である。

定義 ( テンソル積 )

a と b をベクトルとする。

a○b:V×W→ を a○b(v、w)=(a・v)(b・w) で定義する。

このとき、a○b を 『 a と b のテンソル積 』 という。

明らかに、a○b は2階テンソルである。

a=a、b=b とおく。

いま、



よって、次のように見なすことができる。



明らかに、a○b≠b○a である。

また、b=ka ならば a○b=a○(kb)=ka○a=b○a である。

逆に、a○b=b○a ならば b=ka と表せる。

実際、a=b より、b=(b/a)a である。

明らかに、e○e は2階テンソルの基底である。

3階テンソルの場合、e○e○e が基底となる。

これは数字が立方体のように並ぶ列と見なせる。

定義 ( テンソルの成分〜2階ver )

T:V×V→ を2階テンソルとする。

いま、T=Tij○e と表せる。(★)

ただし、Tij=T(e、e) である。

このとき、Tij を 『 Tの成分 』 という。

(★)の証明

いま、T(v、w)=T(v、w)=v(e、e)=Tij である。

また、e○e (v、w)=(e・v)(e・w)=v(e・e)(e・e)=v である。

よって、T=Tij○e である。

定義 ( テンソルの成分〜p階ver )

T:V×・・・×V→ を p 階テンソルとする。

いま、T=Ti1、・・・、ipi1○・・・○eip と表せる。

ただし、T=Ti1、・・・、ip=T(ei1、・・・、eip)である。

このとき、Ti1、・・・、ip を 『 Tの成分 』 という。

定義 ( 線形変換に伴うテンソル )

T:V→V を線形変換とする。

:V×V→ を T(v、w)=v・T(w) で定義する。

明らかに、この T は2階テンソル(双線形形式)である。

このとき、T を 『 Tに伴うテンソル 』 または 『 Tによって定められるテンソル 』 という。

上の定義では区別のために、テンソルに上付きの矢印を付けた。

ただし、以下の議論で分かるように、線形変換と2階テンソルは同一視できる。

よって、上付きの矢印は省いて書いてよいとする。

線形変換 T の成分と、それに伴う2階テンソル T の成分は等しい。

実際、T(e、e)=e・T(e)である。

上式左辺は T の(i、j)成分である。

上式右辺は T(e)の第 i 成分であり、これは T を行列と見なしたときの(i、j)成分である。

つまり、2階テンソルを線形変換や行列として見なせる。

P1

T=(Tij)を2階テンソルとする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

2階テンソルは線形変換や行列と見なせる。(※定義(線形変換に伴うテンソル)の補足)

よって、テンソル積 a○b は線形変換と見なせる。

よって、(a○b)・v=(a)=(b・v)a である。

(2)の証明

(1)と同様に、v・(a○b)=(v)=(v・a)b である。

むろん、次のように表してもよい。

(3)の証明

(1)より、

(4)の証明

(2)より、

定義 ( テンソルの積 )

T、S をテンソルとする。

a を任意のベクトルとする。

(T・S)・a=T・(S・a) と定義する。

定義 ( テンソルの転置 )

T をテンソルとする。

b・T・a=a・T・b と定義する。

このとき、T を 『 Tの転置 』 という。

定義 ( 対称テンソル )

T を2階テンソルとする。

任意のベクトル v と w に対して T(v、w)=T(w、v) であるとする。

このとき、T を 『 対称テンソル 』 という。

定義 ( 交代テンソル )

T を2階テンソルとする。

任意のベクトル v と w に対して T(v、w)=−T(w、v) であるとする。

このとき、T を 『 交代テンソル 』 という。

P2

T=(Tij)、S=(Sij) をテンソルとする。

このとき、

補足

つまり、「 テンソル 」 と 「 テンソルに伴う行列 」 の演算は一致する。

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

(1)と同様。

(3)の証明

定義(テンソルの転置)より、

(4)の証明

定義(テンソルの転置)より、

P3 ( 2階テンソル=「対称部分+交代部分」 )

T を2階テンソルとする。

S=2−1(T+T)、A=2−1(T−T)とおく。

このとき、T=S+A である。

また、S は対称テンソルであり、A は交代テンソルである。

補足

つまり、任意のテンソルは対称テンソルと交代テンソルに分解できる。

証明

明らかである。

P4 ( テンソルの座標変換は相似変換である )

T=(Tij)を2階テンソルとする。

’=pij を基底変換とする。

T’を P=(pij) によって座標変換されたテンソルとする。

このとき、

証明

次のように計算できる。(※テンソルの成分)

P5 ( テンソルの不変量 )

T=(Tij)を2階テンソルとする。

このとき、次の量は座標変換に対して不変である。





補足

よく知られているように、基底変換行列は直交行列である。

また、直交行列の行列式は ±1 である。

以下の証明ではこのことを用いる。

補足

よく知られているように、対称行列 ( これを S とする ) は直交行列によって対角化可能である。

また、その対角成分は固有値となる。

また、以下の証明で示すように、固有方程式は相似変換 S’=PSP に対して不変である。

そこで、S’が対角行列となるように P を選ぶ。

その対角成分に並ぶ固有値を λ、λ、λ とする。

すると、

証明

’=pij を基底変換とする。

基底 { e } における T の成分を ( aij ) とする。

基底 { e’} における T の成分を ( bij ) とする。

いま、B=PTP である。(※P4:テンソル座標変換)

また、B の固有方程式は F(λ)=|λI−B|である。

また、A の固有方程式は F(λ)=|λI−A|である。

いま、P=P−1 である。

よって、次のように計算できる。



また、F(λ)=|λI−A|=λ−Tλ+Uλ−V である。

つまり、T=T、U=U、V=V である。

P6 ( 極分解定理 )

T=(Tij)を正則な2階テンソルとする。

このとき、負でない対称行列 U ( または V ) と直交行列 R が存在して T=RU=VR となる。

証明

T を、テンソル T に伴う線形変換とする。

いま、TT)=TT である。

また、TTv・v=Tv・Tv≧0 である。

つまり、TT は対称であり、非負である。

よって、UTT とおくことができる。

ここで、R=TU−1 とおく。

いま、



つまり、R は直交行列である。

同様に、V=TT とおくことで T=VR を得る。

いま、RU=VR である。

よって、U=RVR である。

P7 ( テンソルの商法則 )

ijk を 3個の実数の組とする。

任意のテンソル T=(Tij) に対して Sijkjm=Rikm はテンソルであるとする。

このとき、Sijk もテンソルである。

証明

P=(pij)を基底変換行列とする。

つまり、P は直交行列である。

いま、Rijk’=Sirj’Trk’=Sirj’prsknsn である。(※P4:テンソルの変換則)

また、Rijk’=piqjmknqmn=piqjmknqnmsn である。

よって、piqjmqsm=prsirj’である。

上式の両辺に pks を掛ける。

すると、pksiqjmqsm=pksrsirj’=δkrirj’=Sikj’である。

これはテンソルの変換則に一致する。

つまり、S=(Sijk)はテンソルである。

定義 ( 軸性ベクトル )

u、v をベクトルとする。

w=u×v とおく。

P=(pij)を基底変換行列とする。

このとき、w’=|P|Pw である。(★)

つまり、w’=|P|pij である。

このような変換則に従うベクトルを 『 軸性ベクトル 』 という。

これに対して通常のベクトルを 『 極性ベクトル 』 という。

よく知られているように、基底変換行列 P は直交行列であり、|P|=±1 である。

また、|P|=+1 の場合は狽ニ煤fは同じ向きであり、P は 『 回転 』 を意味する。

また、|P|=−1 の場合は狽ニ煤fは逆の向きであり、P は 『 擬回転 』 と呼ばれる。

つまり、狽ェ右手系であれば煤fは左手系となる。

(★)の証明

いま、P は直交行列である。

つまり、P=P−1 である。

ij を P の余因子とする。

いま、pij=(P)ji=(P−1ji=Pij/|P|である。(※線形代数)

つまり、Pij=|P|pij である。

また、u’=pij、v’=pij である。

以上により、



同様に、



以上により、w’=|P|Pw である。

定義 ( テンソルに伴う軸性ベクトル )

A を2階交代テンソルとする。

ある軸性ベクトル a=(a、a、a)が存在して次を満たすとする。

(*) 任意のベクトル v に対して A・v=a×v である。

このようなベクトル a を 『 Aに伴う軸性ベクトル 』 という。

P7 ( 軸性ベクトルの性質 )

A=(aij) を2階交代テンソルとする。

a を A に伴う軸性ベクトルとする。

このとき、





(1)と(2)の証明

一般に、a・(b×c)=b・(c×a)=c・(a×b) である。(※スカラー3重積)

いま、



よって、a12=e・A・e=e・(a×e)=a・(e×e)=−a・e=−a である。

また、a13=e・A・e=e・(a×e)=a・(e×e)=a・e=a である。

また、a23=e・A・e=e・(a×e)=a・(e×e)=−a・e=−a である。

つまり、



また、

(3)の証明

(2)より、



上式の両辺に εijk を掛けると、