光のドップラー効果

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参考 ( 音と光のドップラー効果 )

音のドップラー効果は高校物理で知られている。

一方、光のドップラー効果は特殊相対性理論に基づいて求められる。

実は、音と光では次のような違いがある。

(*1) 動径方向の距離が一定である場合は、音のドップラー効果は観測されない。

(*2) 動径方向の距離が一定である場合も、光のドップラー効果は観測される。

ただし、動径方向とは 『 波動の発信源 』 と 『 観測者 』 をつなぐ直線の方向を意味する。

以下、これについて議論する。

とくに、(*2)を 『 横ドップラー効果 』 という。

横ドップラー効果はメスバウアー効果によって観測される。

メスバウアー効果は化学の分析手法として知られている。

ちなみに、メスバウアー効果は赤方偏移(レッドシフト)にも応用されている。

その他、光のドップラー効果は宇宙観測にも応用される。

地球の公転速度を調べたければ、公転半径から簡単に計算できるであろう。

では、そのようにして求めた値は 『 地球の速度 』 と言えるであろうか?

これは太陽系を静止系と見なせば正しい。

しかし、正確に言えば、太陽系は静止系ではない。

実際、太陽系は銀河系の中心に対して運動している。

また、銀河系も局所銀河群(銀河集団の重心)に対して運動している。

また、局所銀河群も銀河大集団の重力によって運動している。

結局、何を静止系として採用すればよいのだろう?

実は、ドップラー効果によってこの問題を解決できる。

宇宙には 『 宇宙マイクロ波背景放射 』 と呼ばれる電波が存在する。

これはビッグバンの証拠とされる電波であり、宇宙の遠方から等方的に太陽系に到達する。

そこで、宇宙マイクロ波背景放射を観測すれば、そのドップラー効果によって地球の速度が分かる。

定義 ( ミンコフスキ時空〜初等ver )

(ct、x、y、z)を座標とする。

2点(ct、x、y、z)と(ct、x、y、z)の距離 s を次のように定める。

(*) s=−c(t−t+(x−x+(y−y+(z−z

このような距離 s が定められた空間を 『 ミンコフスキ時空 』 という。

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

まず、通常の空間座標(x、y、z)の原点で光を放射する。

いま、この光が t 秒後に到達する点全体は x+y+z=(ct) で表される。

つまり、−c+x+y+z=0 である。

よって、距離 s がミンコフスキ時空において意味をもつと推測することは自然である。

ちなみに、ローレンツ変換は2次式 −c+x+y+z=0 が不変となる線形変換として定義される。

これの詳細は別ページで議論する。

参考 ( 光円錐の傾斜 )

基準となる慣性系に対して光の速度で運動する物体は x=±ct+A と表される。

つまり、これは空間1次元ミンコフスキ時空上で傾斜 π/4 と 3π/4 の直線で表される。

ここで、物体の速度は c を超えることができないと仮定する。(この仮定の正当性は後で議論する)

すると、物体の運動は π/4 や 3π/4 より急な傾斜をもつ。

つまり、物体の初期値が (ct、x)=(0、0) であるとすると、物体は必ず x=±ct の上方に動く。

つまり、物体は ct≧x かつ ct≧−x を満たす領域へ動く。

ct=x、ct=−x、ct≧0 の共通部分を 『 光円錐 』 という。

ct≧x、ct≧−x の共通部分を 『 因果的領域 』 または 『 絶対的未来 』 という。

また、ct≦x、ct≦−x の共通部分を 『 絶対的過去 』 という。

また、絶対的未来と絶対的過去を総称して 『 時間的領域 』 という。

また、時間的領域の外を 『 空間的領域 』 という。

P1 ( 座標軸の傾斜 )

S と S’を慣性系とする。

S を基準にして空間1次元ミンコフスキ時空を考える。

S’は S において速度 v で移動しているとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) x’=0 の傾斜は c/v である。

(2) t’=0 の傾斜は v/c である。

補足

図示すると、

証明

既知とする。

P2 ( 基本計算、時間の延伸 )

S と S’を慣性系とする。

A を S の原点に位置する観測者とする。

B を S’の原点に位置する観測者とする。

S において S’は速度 v で移動しているとする。

時刻 t=0 において S と S’の原点は一致しているとする。

A から B へ t=0 から t=T までの間に継続的に光を放射したとする。

いま、B にとって 「 B が A からの光を観測する継続時間 」 は t=kT であったとする。

このとき、



また、A にとって 「 B が A からの光を観測する継続時間 」 は t であったとする。

このとき、

(1)の証明

いま、A は t=0 から t=T まで継続的に光を放射する。

A が光の放射を終えるとき、A は時空上で P=(0、cT) に位置する。

また、B は t’=0 から t’=kT まで光を継続的に観測する。

B が光の観測を終えるとき、B の位置を Q=(X、Y) とする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、B は A から光を観測すると同時に B に向けて光を放射するとする。

つまり、B は鏡をもっているとする。

つまり、B は継続時間 kT で光を放射する。

A が光の観測を終えるとき、A は R=(0、ckT) に位置する。(※対称性)



また、Y/X=c/v である。(※P1)

また、PR=2(Y−OP)=2(Y−cT)である。

また、PR=OR−OP=kcT−cT である。

また、Y−cT=X である。(※参考:光円錐の傾斜)

以上により、



つまり、

(2)の証明

A にとって 「 B が最後に光を放射した時刻 」 は t=OP+2−1PR である。

つまり、

P3 ( 音と光のドップラー効果 )

波動の発信源が観測者に対して1次元的に速度 v で遠ざかるとする。

観測者が観測する波長を λ とする。

発信源での波長を λ とする。

波動が音ならば、次が成り立つ。( V は音速 )



波動が光ならば、次が成り立つ。

補足

むろん、v/c が十分小ならば、(2)は次のように近似できる。(※テイラー展開)



これは(1)に一致する。

(1)の証明

音源が1波長分の音波を放射する時間を Δt’と表す。

音源が時刻 t=0 で距離 d で音波の放射を開始したとする。

音源が1波長分を放射し終えたときの距離は d+vΔt’である。

また、観測者は t=d/V から t=Δt’+(d+vΔt’)/V の間に音波を継続的に観測する。

つまり、観測者が音波を観測する継続時間は Δt=Δt’(1+v/V)である。

これは観測者にとって1波長に相当する。

つまり、λ=VΔt である。

一方、音源での波長は λ=VΔt’である。

よって、λ/λ=Δt/Δt’=1+v/V である。

(2)の証明

いま、Δt=γΔt’(1+v/c)である。(※P2)

ここで、γに含まれる v は動径方向 v とは限らないことに注意。

とくに v=v とすると、

参考 ( 横ドップラー効果 )

上の証明から推測されるように、光のドップラー効果は一般に次のように表せる。(計算省略)



上式は v ( かつ v≠0 ) の場合にもドップラー効果が現れることを意味する。

これは音波の場合には見られない現象である。

これを 『 横ドップラー効果 』 という。