「オームの法則」と「ジュール熱」の導出

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要請 ( 定常電流 )

導体に電場をかけると定常電流が流れる。

これは実験事実として採用する。

参考 ( 中学高校の物理におけるオームの法則 )

中学高校の物理では、オームの法則は Δφ=RI として知られている。

むろん、Δφは電位差(ポテンシャルの差)である。

また、R は電気抵抗の長さ l に比例し、断面積 S に反比例する。

つまり、R=ρl/S である。

よって、i=I/S=σΔφ/l=σE である。

最後の計算では Δφ/l=E を用いた。

つまり、電場は電位差の微分である。

これは大学の物理では E=−∇φ と表される。

上で確認したように、i=σE である。

以下ではこれの一般化された式を導く。

定義 ( 電流密度 )

単位時間に単位面積を通過する電荷の量を 『 電流密度 』 という。

電流密度は i(r)=−nev(r) と表される。(★)

ただし、v(r) は電流(電子から成る流体)の速度である。

(★)の証明

(r)に垂直な微小面積 ΔS をとる。

この面を微小時間 Δt の間に通過する電子の個数は nvΔtΔS である。

ただし、n は数密度である。

よって、通過した電荷は I=n(−e)vΔtΔS である。

よって、i=I/ΔtΔS=−nev である。

P1 ( オームの法則 )

導体に電場 E をかけることで生じる電流密度を i と表す。

導体が抵抗をもたないと仮定すると、



導体が電子の速度に比例する抵抗をもつとすると、

補足

(2)における記号τは時間の次元をもつ定数である。

このτを t に置き換えると、(2)は(1)に一致する。

ただし、(1)は仮想的なものであって実現しない。

実際、(1)は時間が経過すると電流が増大することを意味する。

これは要請(定常電流)に反する。

補足

ρ=1/σを 『 抵抗率 』 という。

σ を 『 電気伝導度 』 という。

(1)の証明

いま、電子に力 −eE が作用する。

よって、運動方程式は mdv/dt=−eE である。

よって、v=−(eE/m)t である。

よって、i=(ne/m)Et である。(※定義:電流密度)

(2)の証明

いま、運動方程式は mdv/dt=−eE−αv である。

また、電子は等速運動する。(※要請:定常電流)

よって、0=−eE−αv である。

つまり、v=−(e/α)E である。

よって、i=(ne/α)E である。(※定義:電流密度)

ここで、α=m/τ とおけば結論を得る。

P2 ( ジュール熱 )

導体に電場 E をかける。

導体の電気伝導度をσとする。

このとき、単位体積中で発生する熱量は、

証明

電子は電場によって −eE の力を受けながら時間 Δt の間に vΔt だけ動く。

つまり、電場が電子に成す仕事は ΔW=−eE・vΔt である。

電子は仕事 ΔW を受けるが、加速しない。(※要請:定常電流)

つまり、この仕事はすべて熱に変換される。

よって、単位時間に単位体積中に発生する熱量は J=nΔW/Δt=−neE・v=E・i である。

つまり、J=σ|E=(1/σ)|i である。(※P1)