包絡線、縮閉線、伸開線

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定義 ( 包絡線 )

{Ct∈[a、b] を曲線族とする。

つまり、各 t∈[a、b] に対して曲線 C が対応している。

ある曲線Γが存在して、各 C に接するとする。

このとき、Γを 『 {C}t∈[a、b] の包絡線 』 という。

例えば、xy 平面上で (t、0) と (0、1−t) を結ぶ、t を 0≦t≦1 で動かすと、

例えば、壁に立てかけた棒が上端を壁に接したまま滑り落ちる場合にも、包絡線が現れる。



この包絡線は 『 アステロイド 』 の一部である。

P1 ( 包絡線の方程式 )

{Ct∈[a、b] を曲線族とする。

これは陰関数 F(x、y、t)=0 で与えられるとする。

このとき、{Ct∈[a、b] の包絡線は、次の2式によって与えられる。

(*1) F(x、y、t)=0

(*2) F(x、y、t)=0

補足

(*1)と(*2)から t を消去すれば、包絡線の方程式を得ることができる。

証明

Γ(t)=(x(t)、y(t)) を {Ct∈[a、b] を包絡線とする。

つまり、Γは各 t で C に接している。

よって、F(Γ(t)、t)=F(x(t)、y(t)、t)=0 である。(★1)

(★1)より、F+Fx’+Fy’=0 である。(★2)

いま、dy/dx=−F/F である。(※陰関数定理)

よって、Fx’+Fy’=0 である。(★3)

よって、(★2)、(★3)より、F=0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

逆に、曲線 Γ(t)=(x(t)、y(t)) が(*1)と(*2)を満たすとする。

いま、(★2)より、Fx’+Fy’=0 である。

よって、Γ(t) は C で接する。

定義 ( 縮閉線 )

曲線の法線から成る包絡線を 『 縮閉線 』 という。

例えば、楕円の縮閉線は、

定義 ( 伸開線 )

Γ(s) を曲線とする。( s は弧長パラメータである )

α:[0、δ]→ を α(s)=Γ(s)+(δ−s)Γ’(s) と定義する。

このとき、αを 『 Γの伸開線 』 という。

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

まず、Γ(0)に糸の端を固定し、糸がΓ(0)で接する直線となるように糸を張る。

このとき、糸の他端を α(0) と表す。

次に、この糸を Γ[0、δ] に巻き付ける。

糸が Γ(s) で接しているとき、他端を α(s) と表す。



最終的に、α(δ)はΓ(δ)に一致する。

定義 ( 曲線の頂点 )

Γ(s) を曲線とする。

Γの曲率が極大または極小となる点を Γ(s) を 『 Γの頂点 』 という。

例えば、

P2 ( 縮閉線の同値条件 )

Γ(s) を曲線とする。( s は弧長パラメータである )

σ(s) をΓの包絡線とする。

このとき、σ(s)=Γ(s)+κ(s)−1n(s) と表せる。

補足

つまり、包絡線は、元の曲線の曲率円の中心が描く軌跡である。

補足

よって、σ’=(1/κ)’n である。

つまり、元の 『 曲線の頂点 』 に対応する点で縮閉線の速度は 0 になる。

一般に、これは尖点 ( cusp ) になる。

例えば、楕円の場合は、4つの尖点が現れる。

証明

Γ(s)=(x(s)、y(s)) とおく。

F(X、Y、s)=x’(s)(X−x(s))+y’(s)(Y−y(s))=0 と定める。

いま、F(X、Y、s) は Γ(s) の s における法線方程式である。

また、∂F/∂s=x’’(s)(X−x(s))+y’’(s)(Y−y(s))−1 である。

ここで、F=0 と ∂F/∂s=0 を X と Y について解く。

すると、



よって、σ(s)=(X(s)、Y(s))=Γ(s)+κ(s)−1n(s) である。

P3 ( 縮閉線と伸開線の双対性 )

Γ(s) を曲線とする。

α(s) を Γ(s) の伸開線とする。

このとき、Γはαの縮閉線である。

証明

いま、α(s)=Γ(s)+(δ−s)Γ’(s) である。

n(s) を Γ(s) の左向き単位法ベクトル場とする。

いま、α’(s)=(δ−s)Γ’’(s)=(δ−s)κ(s)n(s) である。

また、α’’(s)=((δ−s)κ(s))’n(s)−(δ−s)κ(s)Γ’(s) である。

よって、αの曲率 κ[α] は、



ただし、κはΓの曲率である。

よって、