伝達関数、相関関数、ホワイトノイズ

サイトのTOP→理系インデックス





定義 ( ディラックのデルタ関数 )

次の条件(1)と(2)を満たす関数 δ を定める。



このとき、δ(t)を 『 ディラックのデルタ関数 』 という。

むろん、これは通常の関数とは異なる。

つまり、上記の定義は形式的である。

ディラックのデルタ関数は、厳密には 『 超関数 』 という分野で定義される。

ただし、以下の議論ではここに書いた形式的な定義で十分である。

P1 ( 基本計算 )

f(t) を連続関数とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

いま、



よって、



ただし、M=maxa−ε≦t≦a+ε(f(t)−f(a)) である。

いま、M→0 ( ε→+0 ) である。(※ f は連続関数)

よって、

定義 ( 線形システム )

入力 u(t) に対して v(t) を出力するシステムを v(t)=T[u(t)] と表す。

さらに、このシステムは線形であるとする。

つまり、T[a(t)+a(t)]=aT[u(t)]+aT[u(t)] であるとする。

このようなシステムを 『 線形システム 』 という。

システムは、関数や写像と同じ意味である。

定義 ( 時不変 )

v(t)=T[u(t)] を線形システムとする。

任意の実数 a に対して v(t+a)=T[u(t+a)] であるとする。

このとき、T を 『 時不変システム 』 という。

以下、とくに断りがない限り、システムは時不変であるとする。

定義 ( インパルス応答 )

v(t)=T[u(t)] を線形システムとする。

δ(t) をデルタ関数とする。

このとき、h(t)=T[δ(t)] を 『 インパルス応答 』 という。

つまり、インパルス応答とは、デルタ関数を入力した場合の出力である。

P2 ( インパルス応答によってシステムの特性が分かる )

v(t)=T[u(t)] を線形システムとする。

f(t) を連続関数とする。

このとき、

補足

よく知られているように、f*h(t)=h*f(t) である。

補足

この定理は、h(t)によって線形システムの特性が分かることを意味する。

つまり、h(t)が分かればよい。

では、h(t)を得るにはどうすればよいか?

むろん、これはインパルス δ(t) を入力すれば分かる。

例えば、建築物内部で 「 パンッ 」 というインパルスを与えれば、その音響特性が分かる。

証明

次のように計算できる。(※P1)



上の計算では 『 積分 』 と 『 T による演算 』 を順序交換した。

これは T の線形性に基づく。

また、h(t−s)=T[δ(t−s)] は時不変性によって保障されている。

定義 ( 伝達関数 )

H(ω)=F[h(t)] を、インパルス応答のフーリエ変換とする。

このとき、H(ω)を 『 伝達関数 』 という。

P3 ( 基本計算 )

v(t)=T[u(t)] を線形システムとする。

このとき、

証明

計算すると、

参考 ( 理想低域通過フィルタ )

v(t)=T[u(t)] を線形システムとする。

その伝達関数が次のように表されるとする。



このとき、

補足

このような線形システムを 『 理想低域通過フィルタ 』 という。

また、ω を 『 遮断周波数 』 という。

補足

むろん、f(t) を入力すると、f*h(t) が出力される。(※P2)

今回、s<0 で h(s) は 0 とならない。

つまり、出力 T[f(t)] は時刻 t より未来の値 f(t−s) によって定まる。

つまり、これは因果律に反している。

よって、理想低域通過フィルタを物理的に実現することはできない。

ただし、コンピュータでは f(t) を一時的に記憶して用いることで理想低域通過フィルタを実現する。

証明

計算すると、

参考 ( 理想帯域通過フィルタ )

v(t)=T[u(t)] を線形システムとする。

その伝達関数が次のように表されるとする。



このとき、

証明

計算すると、

定義 ( 相互相関関数、自己相関関数 )

f(t)、g(t) を関数とする。

次のように定義する。



このとき、Rfg を 『 相互相関関数 』 という。

とくに、Rff を 『 自己相関関数 』 という。

むろん、Rfg(τ)=(f(t)*g(−t))(τ) と表せる。

相互相関関数は、f と g がどれほど似ているかを測る。

P4 ( ウィーナー・ヒンチンの定理 )

f(x) を関数とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

|F[f](ω)| は 『 エネルギースペクトル 』 と呼ばれる。

また、よく知られているように次が成り立つ。(※パーセヴァルの等式)

証明

F(ω)=F[f(t)](ω) とおく。

よく知られているように、F(ω)=F(−ω) である。

よく知られているように、F−1F[f]=f である。(※フーリエ反転公式)

よって、

定義 ( ホワイトノイズ )

u(t) を、自己相関関数がデルタ関数となる入力とする。

いま、そのエネルギースペクトルは次のように計算される。(※ウィーナー・ヒンチンの定理)

(*) |F[u(t)](ω)|=F[Ruu(τ)]=F[δ(τ)]=1

つまり、u はすべての周波数成分を等しく含む雑音である。

光の場合、これは白色光に相当する。

そこで、このような u(t) を 『 ホワイトノイズ 』 という。

P5 ( ホワイトノイズによってインパルス応答を調べることができる )

v(t)=T[u(t)] を線形システムとする。

h(t) を、そのインパルス応答とする。

u(t) を、自己相関関数がデルタ関数となる入力とする。

つまり、Ruu(τ)=δ(τ) を満たすとする。

このとき、Rvu(τ)=h(τ) である。

補足

つまり、ホワイトノイズを入力し、入力と出力の相互相関関数を調べれば、インパルス応答 h(t) が分かる。

証明

次のように計算できる。(※P2、P1)