「複素フーリエ解析」=「実フーリエ解析」

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定義 ( 複素フーリエ級数〜その1 )

f:[−π、π]→ をリーマン可積分関数とする。

ここで、次のように定義する。



このとき、c を 『 f のフーリエ係数 』 という。

また、S[f] を 『 f の第N部分和 』 という。

また、limN→∞[f]を 『 f のフーリエ級数 』 という。

また、f=limN→∞[f] が成り立つとき、これを 『 f のフーリエ級数展開 』 という。

定義 ( 複素フーリエ級数〜その2 )

f:[−L、L]→ をリーマン可積分関数とする。

ここで、次のように定義する。



このとき、c を 『 f のフーリエ係数 』 という。

また、S[f] を 『 f の第N部分和 』 という。

また、limN→∞[f]を 『 f のフーリエ級数 』 という。

また、f=limN→∞[f] が成り立つとき、これを 『 f のフーリエ級数展開 』 という。

定義 ( 複素フーリエ級数〜その3 )

f:[0、T]→ をリーマン可積分関数とする。

ここで、次のように定義する。



このとき、c を 『 f のフーリエ係数 』 という。

また、S[f] を 『 f の第N部分和 』 という。

また、limN→∞[f]を 『 f のフーリエ級数 』 という。

また、f=limN→∞[f] が成り立つとき、これを 『 f のフーリエ級数展開 』 という。

参考 ( どの定義も同じ )

明らかに、定義(複素フーリエ級数〜その1)、定義(〜その2)、定義(〜その3)は同じ意味である。

むろん、どの表記で議論を進めてもよい。

P1 ( 実フーリエ級数 )

f:[−L、L]→ をリーマン可積分関数とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

今回の式をフーリエ級数の定義として最初に採用する書物も多い。

むろん、今回の式を定義として採用した場合、定義(複素フーリエ級数)は定理として導かれる。

ただし、今回の式は sin と cos で2種類の項が含まれており、その意味で扱いづらい。

一方、定義(複素フーリエ級数)の場合、項が1つに統一されている。

その意味で、理論的には定義(複素フーリエ級数)の方が扱いやすい。

補足

おそらく、よくある誤解だが、「実フーリエ級数」と「複素フーリエ級数」は別物ではない。

この2つは表示方法が異なるというだけで、内容は同じである。

証明

k≧1とする。

いま、



よって、a=c+c−k、b=i(c−c−k)である。

一方、k=0 の場合を考えると、c=a/2 である。

よって、

参考 ( 周期関数=偶+奇 )

任意の周期関数は、同じ周期をもつ偶関数と奇関数の和として表される。

証明

f(x) を周期 T の関数とする。

even(x)=2−1(f(x)+f(−x)) とおく。

odd(x)=2−1(f(x)−f(−x)) とおく。

いま、f=feven+fodd である。

また、feven(x)=2−1(f(x)+f(−x))==2−1(f(−x)+f(x))=feven(x) である。

つまり、feven は偶関数である。

また、fodd(x)=2−1(f(x)−f(−x))=−2−1(f(−x)−f(x))=fodd(x) である。

つまり、fodd は奇関数である。

また、feven(x+T)=2−1(f(x+T)+f(−x−T))==2−1(f(x)+f(−x))=feven(x) である。

つまり、feven(x) は周期 T の関数である。( fodd についても同様である )

参考 ( フーリエ係数は各成分の大きさを表す )

フーリエ級数に対して次が言える。

(1) a は偶関数成分の大きさを表す。

(2) b は奇関数成分の大きさを表す。

(3) A=√(a+b) は周期 T/k の変動成分の大きさを意味する。

(4) (1/2)a は、周期関数 f の平均値を意味する。

(1)と(2)の証明

は coskωx の係数である。

は sinkωx の係数である。

また、明らかに、偶関数の周期関数に対して b=0 である。

また、明らかに、奇関数の周期関数に対して a=0 である。

既に示したように、一般の周期関数は、偶関数と奇関数の和で表せる。(※参考:周期関数=偶+奇 )

以上により、(1)と(2)が示された。

(3)の証明

高校数学で知られているように、acoskωx+bcoskωx=Asin(kωx+θ) が成り立つ。

ただし、A=√(a+b)、sinθ=a/A、cosθ=b/A である。

(4)の証明

明らかである。(※定義:フーリエ係数)