不連続群、O(2)の離散部分群、平面結晶群

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定義 ( 不連続群 )

Γ を Isom() の部分群とする。

Γ は に(自然に)作用している。

任意の点 x∈ に対し、軌道 Γx は集積点をもたないとする。

このとき、Γ を 『 Isom()からなる不連続群 』 という。

あるいは、Γを 『 Isom()の離散部分群 』 という。

定義 ( 格子 )

、b の1次独立なベクトルとする。

(x)=x+b、t(x)=x+b とおく。

つまり、t と t は平行移動である。

Γ、b={ t|m、n∈ } とおく。

明らかに、Γ、b は Isom() の部分群である。

このとき、Γ、b を 『 格子 』 という。

明らかに、Γ、b は Isom()からなる不連続群である。

P1

Γ を Isom() からなる不連続群とする。

Γ は固定点をもたないとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 任意の g∈Γ に対し、ある実数 a>0、整数 n が存在して、g(x)=x+na と表せる。

(2) Γ と は ( 群として ) 同型である。

(1)の証明

一般に、Isom()の元は平行移動と反転のみである。

さらに、Γの元は固定点をもたない。

よって、Γの元は平行移動のみである。

Γ0 を原点 0 に対するΓの軌道とする。

X を、Γ0 の元で正であるもの全体とする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

X が最小値をもたないと仮定する。(背理法)

a=infX とおく。

a が X に属さないとすると、a は X の集積点となる。

これは矛盾である。

よって、a=minX である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

g∈Γとおく。

いま、g(x)=x+b と表せる。

b を a で割り切る。

すると、b=an+r ( 0≦r<a ) である。

r≠0 と仮定する。(背理法)

いま、t−ng∈Γである。

つまり、x から x+r への平行移動がΓに属する。

これは a の最小性に矛盾する。

よって、r=0 である。

つまり、任意の g∈Γ は g(x)=x+na の形で表せる。

(2)の証明

a を(1)の意味でとる。

t(x)=x+a と定義する。

(1)より、任意の g∈Γ は g=t の形で表せる。

φ:Γ→ を φ(t)=n と定義する。

明らかに、φは同型である。

P2

Γ を Isom() からなる不連続群とする。

Γ は固定点をもたないとする。

このとき、X={ d(x、g(x))|x∈、g∈Γ、g≠1 } は ( 正の ) の最小値をもつ。

証明

いま、Γは固定点をもたない。

つまり、任意の g∈Γ、x∈ に対し、g(x)≠x である。

また、Γx は集積点をもたない。

よって、infX>0 である。

ここで、a=infX とおく。

g、h∈Γ とおく。

いま、d(x、g−1h(x))≧a である。

よって、d(g(x)、h(x))≧a である。(※ g は等長変換)(★)

a は X に属さない仮定する。(背理法)

b>a とおく。

いま、x を中心とする 「 半径 a の円 」 と 「 半径 b の円 」 の間に Γx の元が無数に存在する。

これは(★)に反する。

よって、a∈X である。

つまり、a=minX である。

P3

Γ を Isom)からなる不連続群とする。

Γ は固定点をもたないとする。

このとき、Γ は 2 個以下の平行移動によって生成される。

補足

つまり、Γは次のいずれかである。

(1) Γ と は同型である。

(2) Γ と は同型である。

証明

いま、Γの元は平行移動のみである。

x∈ とおく。

いま、ある g∈Γ が存在して、d(x、g(x)) は最小となる。(※P2)

このような g を t と表す。

ここで、a=d(x、t(x))とおく。

いま、x と t(x) を結ぶ直線上にある Γx の元は t(x) ( m は整数 ) の形で表せる。(※P1と同様)

( もし、ある y∈Γx が存在して上記の形で表せないとすると、0<d(x、t(y))<a となって最小性に反する )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( m∈ ) 全体がΓに一致しているとする。

これは Γ が t によって生成されることを意味する。

( m∈ ) 全体がΓに一致しないとする。

を、t の形で表せないΓの元 g で、d(x、g(x)) を最小にするものとする。

b=mind(x、g(x))とおく。

ある y∈Γ が存在して、y は t ( m、n∈ ) の形で表せないとする。(背理法)

いま、ある整数 r、s が存在して、0<d(x、t)<b となる。(※P1と同様、P2を利用)

これは b の最小性に反する。

つまり、Γは t と t によって生成される。

P4

Γ を Isom() からなる不連続群とする。

Γ は恒等変換のみからなる群ではないとする。

このとき、Γ∩T は、 または と同型である。

証明

明らかである。(※P3)

P5

(1) SO(2)の離散部分群は有限群である。

(2) SO(2)の離散部分群は巡回群 C である。

(3) O(2)の離散部分群が向きを逆にする変換を含むならば、これは2面体群 D である。

(1)の証明

Γ を SO(2) の離散部分群とする。

Γの位数は有限でないとする。(背理法)

を、原点を中心とする単位円とする。

x=(1、0)∈S とおく。

いま、Γx は無限個の点からなる。

これは Γx が集積点をもたないことに反する。

(2)の証明

Γ を、SO(2)の離散部分群とする。

Γが恒等変換のみからなる場合は、位数1の巡回群と見なせる。

Γ は恒等変換以外の元を含むとする。

(1)より、Γの位数は有限である。

よって、回転角 0<θ<2π は正の最小値をもつ。

θを最小値とする。

n∈ を、nθ≧2πを満たす最小の自然数とする。

いま、(n−1)θ<2π≦nθである。

(n−1)θ<2π<nθとすると、θの最小性に反する。

よって、nθ=2πである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ある回転角φが存在して、(k−1)θ<φ<kθとなるとする。(背理法)

いま、0<−(k−1)θ+φ<θである。

これはθの最小性に反する。

つまり、Γの任意の元は (2π/n) の回転で生成される。

つまり、Γは位数 n の巡回群である。

(3)の証明

Γ をO(2) の離散部分群とする。

Γ は向きを逆にする変換を含むとする。

いま、Γ は反転τを含む。

また、Γ の元で、向きを保つもの全体は巡回群 C である。

よって、Γ は C と τC に類別される。

よって、2面体群である。

定義 ( 平面結晶群 )

Γ を Isom() の部分群とする。

次が成り立つとする。

(1) Γの作用は不連続である。

(2) Γに属する平行移動全体は格子である。

このとき、Γ を 『 平面結晶群 』 という。

条件(2)は次のように言い換えられる。(※P4)

(*) Γ∩T は と同型である。

定義 ( 結晶点群 )

Γ を平面結晶群とする。

x∈ とおく。

StΓ(x) を Γ による固定化群とする。

このとき、StΓ(x) を 『 結晶点群 』 という。

P6

Γ を平面結晶群とする。

t をΓに属する平行移動とする。

任意の g∈Γ に対し、gtg−1∈Γ は平行移動である。

証明

g∈Γ とおく。

いま、g(x)=Ax+b と表せる。(A∈O(2))

また、g−1(x)=Ax−Ab である。(※実際に計算して確認できる)

よって、gtg−1(x)=gt(Ax−Ab)=g(Ax−Ab+b)=A(Ax−Ab+b)+b=x+Ab である。

つまり、gtg−1(x) は平行移動である。

P7

Γ を平面結晶群とする。

、b をΓの平行移動が定める格子とする。

このとき、L、b は Γ∩O(2) に対して不変である。

証明

b∈L、b とおく。

A∈Γ∩O(2) とおく。

いま、Ab は Γ に含まれる平行移動を定める。(※P6の証明)

よって、Ab∈L、b である。(※定義:平面結晶群)

P8

平面結晶群に含まれる恒等変換でない回転移動の位数は、2、3、4、6 のいずれかである。

証明

Γ を平面結晶群とする。

a をΓに属する回転とする。

いま、a の位数は有限である。(※P5)

そこで、その位数を n とする。

b を、L、b に属する大きさが最小の ( 0 でない ) ベクトルとする。

P を、原点を始点とする b の終点とする。

a の回転角を 2π/n とする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

n>6 と仮定する。(背理法)

Q=a(O)とする。

いま、Q∈L、b で、d(P、Q)<d(Q、P)である。(※下図)



これは b の最小性に反する。

よって、n≦6 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

n=5 と仮定する。(背理法)

Q を、点 P を原点 O を中心として 4π/5 回転させた点とする。

いま、OP+OQ <b である。(※下図)



これは b の最小性に反する。

よって、n≠5 である。

P9

結晶点群は次のいずれかと同型である。

(1) {1}

(2) 巡回群 C、C、C、C

(3) 2面体群 D、D、D、D、D

証明

StΓ(x) を結晶点群とする。

StΓ(x) が向きを保つ変換のみからなるとする。

このとき、(1)または(2)である。(※P8)

StΓ(x) が向きを逆にする変換τを含むとする。

いま、τは点 x を通る直線に関する反転である。

StΓ(x) を、StΓ(x)の元で、向きを保つ変換全体からなる部分群とする。

いま、StΓ(x)は、StΓ(x) と τStΓ(x) に類別される。

また、StΓ(x) は、(1)または(2)と同型である。

よって、StΓ(x) は2面体群である。