フーリエ級数、パーセヴァルの等式

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定義 ( Cper

f: を連続関数とする。

任意の x∈ に対し、f(x+1)=f(x) であるとする。

( つまり、f は周期1の関数である )

このような関数 f 全体を Cper と表す。

同様に、C級関数で、周期1の関数全体を Cper と表す。

定義 ( e

k を整数とする。

次のように定義する。

むろん、e∈Cper である。

実際、e(t+1)=exp(2πik(t+1))=exp(2πikt)exp(2πik)=exp(2πikt)=e(t)である。

むろん、eix=cosx+isinx である。

これは 『 オイラーの公式 』 として複素解析でよく知られている。

定義 ( 3角級数、3角多項式 )

(cn∈ を複素数列とする。

ここで、次のような式を考える。



これを 『 3角級数 』 という。

とくに、3角級数の和が有限和であるとき、これを 『 3角多項式 』 という。

Z1 ( 3角多項式による近似 )

f∈Cper とおく。

このとき、任意の ε>0 に対し、ある3角多項式 Pε(t) が存在して、次を満たす。

(*) 任意の t∈[0、1]に対し、|f(t)−Pε(t)|<εである。

補足

むろん、[0、1] を [−1/2、1/2] としてもよい。

証明

これの証明は前の章で扱っている。

ただし、これは道具として認めて使用できれば十分である。

フーリエ解析の書物では Z1 の証明と 『 フーリエ級数の一様収束 』 を同時進行で扱うことが多い。

しかし、実際には、このように議論を切り離すことが可能である。

定義 ( Lノルム )

f、g∈Cper とおく。

次のように定義する。



|| ・ ||L2 を 『 Lノルム 』 という。

明らかに、|| f ||L2=(f、f)L2 である。

また、(・、・)L2 は内積である。

また、|| ・ ||L2 はノルムである。

Z2 ( 基本計算 )

次が成り立つ。

(1) (e、eL2=1

(2) (e、eL2=0 (m≠n)

(1)の証明

計算すると、

(2)の証明

計算すると、

Z3

(en∈ は Cper において1次独立である。

証明

−N≦k≦N=0 ( a ) とおく。

いま、(−N≦k≦N、eL2=0 である。

一方、(−N≦k≦N、eL2−N≦k≦N(e、eL2=a(e、eL2=a である。(※Z2)

よって、a=0 である。

よって、(en∈ は1次独立である。

参考 ( 基底 )

V を(無限次元)ベクトル空間とする。

A={vn∈ を V の部分集合とする。

次が成り立つとする。

(1) A は1次独立である。

(2) 任意の v∈V は有限和として v=狽 ( a、v∈A ) と表せる。

このとき、A を 『 V の基底 』 という。

とくに、条件(2)が有限和であることに注意。

参考 ( 基本系 )

V を(無限次元)ベクトル空間とする。

A={vn∈ を V の部分集合とする。

次が成り立つとする。

(*) 任意の v∈V は v=−∞≦k≦∞ ( a、v∈A ) と表せる。

このとき、A を 『 V の基本形 』 という。

条件(*)を 「 spanA は V において稠密である 」 と表現しても意味は同じである。

参考 ( 完全正規直交系 )

V を(無限次元)ベクトル空間とする。

A={vn∈ を V の部分集合とする。

次が成り立つとする。

(1) A は1次独立である。

(2) 任意の v∈V は v=−∞≦k≦∞ ( a、v∈A ) と表せる。

このとき、A を 『 V の完全正規直交系 』 という。

参考

(en∈ は Cper の完全正規直交系であることが知られている。

とくに、その収束は一様収束である。

ただし、この章では (en∈ が Cper の完全正規直交系であることを示す。

むろん、その収束は一様収束である。

定義 ( C

複素数列(an∈ 全体を と表す。

むろん、(an∈=(・・・、a−2、a−1、a、a、a、・・・)である。

Z4 ( C は自然にベクトル空間と見なせる )

(an∈、(bn∈ に対し、次のように定義する。

(*1) (an∈+(bn∈=(a+bn∈

(*2) k(an∈=(kan∈

このとき、 はベクトル空間である。

証明

明らかである。

定義 ( C のノルム )

A∈C とおく。

いま、A=(an∈ と表せる。

=(−a、・・・、a)と定義する。

|| A ||=(−N≦k≦N|a1/2 と定義する。

( 明らかに、|| A || は(Nに関して)単調増加数列である )

ここで、limN→∞|| A || が存在するとする。

( つまり、limN→∞|| A ||<∞ であるとする )

|| A ||=limN→∞|| A || と定義する。

このとき、|| A || を 『 A のノルム 』 という。

また、finit={ A∈|limN→∞|| A ||<∞ } と定義する。

Z5 ( Cfinit は C の部分空間である )

A、B∈Cfinit に対し、次のように定義する。

(*1) (A+B)=A+B

(*2) (kA)=kA

このとき、finit の部分空間である。

証明

いま、|| (A+B) ||+|| A+B ||≦|| A ||+|| B ||≦|| A ||+|| B ||<∞ である。

また、|| (kA) ||=limN→∞|| kA ||=|k|limN→∞|| A || <∞ である。

よって、A+B、kA∈Cfinit である。

注意 ( シュワルツの不等式 )

V を K 上の内積空間とする。

|| v ||=(v、v)1/2 と定義する。

このとき、次が成り立つ。

(*) |(v、w)|≦|| v ||・|| w || ( v、w∈V )

この(*)を 『 シュワルツの不等式 』 という。

この不等式は非常に有名なので証明は省略して用いる。

Z6

A、B∈Cfinit とおく。

=(A、B)=−N≦k≦N と定義する。

このとき、(xN∈ におけるコーシー列である。

補足

よく知られているように、 は完備である。

つまり、(xN∈ は収束する。

証明

M、N=(aM+1、・・・、a)とおく。

M、N=(a−N、・・・、a−(M+1))とおく。

いま、(A、B)=(AM、N、BM、N)+(A、B)=(AM、N、BM、N)である。

とくに、A=B とすると、|| A ||−|| A ||=|| AM、N ||+|| AM、N || である。

また、(AM、N、BM、N)≦|| AM、N |||| BM、N || である。(※シュワルツの不等式)

また、|| AM、N ||≦|| AM、N ||+|| AM、N ||=|| A ||−|| A || である。

同様に、|| BM、N ||≦|| B ||−|| B || である。

よって、|(AM、N、BM、N)|≦(|| A ||−|| A ||)(|| B ||−|| B ||)である。

同様に、|(AM、N、BM、N)|≦(|| A ||−|| A ||)(|| B ||−|| B ||)である。

よって、



つまり、(xN∈ はコーシー列である。

定義 ( V

次のように定義する。

Z7

は複素べクトル空間である。

証明

x、y∈V とおく。

いま、x=−∞≦n≦∞、y=−∞≦n≦∞ と表せる。

ただし、−∞≦n≦∞|x<∞、−∞≦n≦∞|y<∞ である。

いま、−∞≦n≦∞|x+y≦2−∞≦n≦∞(|x+|y)<∞ である。(★)

よって、x+y∈V である。

また、−∞≦n≦∞|kx=k−∞≦n≦∞|x<∞ である。

よって、kx∈V である。

(★)について補足

x、y∈ とおく。

いま、|x+y|≦|x|+|y|である。

よって、|x+y|≦|x|+2|x||y|+|y|≦2(|x|+|y|)である。(※シュワルツの不等式)

つまり、|x+y|≦2(|x|+|y|)である。

定義 ( フーリエ級数 )

f∈Cper とおく。

次のように定義する。



このとき、S[f] を 『 f のフーリエ級数 』 という。

また、f(k)を 『 f のフーリエ係数 』 という。

上では積分範囲を[0、1]とした。

しかし、e−k∈Cper なので、積分範囲を [ −1/2、1/2 ] としても同じである。

定義 ( f の第N部分和 )

f∈Cper とおく。

次のように定義する。



このとき、S[f] を 『 f の第N部分和 』 という。

つまり、S[f] は3角多項式である。

Z8

σ:Vfinit をσ(−∞≦n≦∞)=(・・・、a−2、a−1、a、a、a、・・・)で定義する。(★)

次のように定義する。



このとき、次が成り立つ。

(1) (・、・)VH は V の内積である。

(2) σは線形同型写像である。

(3) (σ(f)、σ(g))=(f、g)VH ( f、g∈V

(4) (σ−1(A)、σ−1(B))VH=(A、B) ( A、B∈finit

(★)について補足

−∞≦n≦∞∈H とする。

いま、−∞≦n≦∞|a<∞ である。(※定義:V

よって、σの終域を finit としてよい。

(★)について補足

f、g∈V とおく。

いま、f=−∞≦n≦∞、g=−∞≦n≦∞ と表せる。

また、(f、gL2−∞≦n≦∞=(σ(f)、σ(g))である。(※Z2)

いま、(σ(f)、σ(g)) は におけるコーシー列である。(※Z6)

つまり、(σ(f)、σ(g))は収束する。

つまり、limN→∞(σ(f)、σ(g))が存在する。

そこで、(f、g)VH=limN→∞(σ(f)、σ(g))と定義できる。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

いま、(σ(f)、σ(g))=limN→∞(σ(f)、σ(g))である。

よって、(σ(f)、σ(g))=(f、g)VH である。

(4)の証明

明らかである。

定義 ( Vノルム )

f∈V に対し、|| f ||VH=(f、f)VH1/2 と定義する。

むろん、|| ・ ||VH は V のノルムである。

Z9

f(x)=−N≦k≦N(x) ( a ) を3角多項式とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) S[f]=f

(2) || f ||L2=|| S[f] ||VH=(−N≦k≦N|a1/2

(1)の証明

Z2 より、



よって、S[f]=−N≦k≦N(k)e−N≦k≦N=f である。

(2)の証明

Z2より、

Z10

f∈Cper とおく。

このとき、|| S[f] ||VH=|| f ||L2 である。

補足

むろん、これは || S[f] ||VH<∞ を意味する。

つまり、S[f]∈V である。

証明

n∈ とおく。

いま、ある3角多項式 P(t)=k、n(t)が存在して、次を満たす。(※Z1)



よって、



よって、|| f ||L2=limn→∞|| P ||L2 である。

一方、|| P ||L2=|| S[P] ||VH|ak、n である。(※Z9)

よって、|| f ||L2=limn→∞|ak、n である。

一方、



よって、|| f ||L2limn→∞|ak、n|f(k)| である。

一方、|| S[f] ||VH|f(k)| である。(※定義)

よって、|| S[f] ||VH=|| f ||L2 である。

Z11 ( フーリエ級数は単射な線形写像である )

S:Cper→H を S(f)=S[f] で定義する。

このとき、S は単射な線形写像である。

証明

既に、S[f]∈V であることは示した。(※Z10)

また、線形性は明らかである。

S[f]=S[g]とする。

線形性より、S[f−g]=0 である。

よって、|| f−g ||L2=|| S[f−g] ||VH=0 である。(※Z10)

よって、f=g である。

よって、S は単射である。

Z12 ( パーセヴァルの等式 )

f、g∈V に対し、次が成り立つ。

(*) (S[f]、S[g])VH=(f、g)L2

証明

いま、(f+g、f+g)L2=(S[f+g]、S[f+g])VH=(S[f]+S[g]、S[f]+S[g])VH である。(※Z10、Z11)

ここで、上式の両辺から || f ||L2=|| S[f] ||VH と || g ||L2=|| S[g] ||VH を引く。

すると、(f、g)L2+(g、f)L2=(S[f]、S[g])VH+(S[g]、S[f])VH である。

つまり、Re(f、g)L2=Re(S[f]、S[g])VH である。

ここで、f を if に置き換える。

すると、Re(if、g)L2=Re(S[if]、S[g])VH である。

よって、Im(f、g)L2=Im(S[f]、S[g])VH である。(※Z12)(★)

(★)について補足

V を複素ベクトル空間とする。

v、w∈V とおく。

z∈ とおく。

いま、z=x+iy ( x、y∈ ) と表せる。

また、Imz=y=−Re(iz)である。

よって、Im(v、w)=−Rei(v、w)=−Re(iv、w)である。

定義 ( 一様ノルム )

f を 上の関数とする。

|| f ||=supt∈|f(t)|と定義する。

このとき、|| f || を 『 f の一様ノルム 』 という。

つまり、limn→∞|| f−f ||=0 は (fn∈ が f に一様収束することを意味する。

Z13

(an∈ を複素数列とする。

N∈ とおく。

−N≦n≦N と定義する。

( つまり、g は3角多項式である )

−∞≦n≦∞|a|<∞ であるとする。

このとき、ある g∈Cper が存在して、次が成り立つ。

(1) g は g に一様収束する。

(2) g は一様連続である。

(3) 任意の整数 n に対して a=g(n)である。

(1)の証明

−N≦n≦N|a|とおく。

いま、(AN∈ は収束する単調増加数列である。

むろん、(AN∈ はコーシー列である。

よって、ある N が存在して、s、r≧N ⇒|A−A|<εとなる。

ここで、s>r としておく。

いま、|A−A|=r+1≦n≦s(|a|+|a−n|)である。

よって、任意の t∈ に対して次が成り立つ。

(*) |g(t)−g(t)|=|r+1≦n≦s(a−n−n(t)+a(t))|≦r+1≦n≦s(|a|+|a−n|)<ε

よって、|| g−g ||=supt∈|g(t)−g(t)|≦εである。

ここで、t∈ を固定する。

いま、g(t)は r に関するコーシー列である。

よって、limr→∞(t)が存在する。

そこで、g(t)=limr→∞(t)とおく。

いま、limr→∞|| g−g ||=0 である。

(2)の証明

ε>0 とおく。

(1)より、ある N∈ が存在して、r≧N ⇒ || g−g ||<ε/3 である。

いま、g は一様連続である。

よって、ある δ>0 が存在して|t−s|<δ⇒|g(t)−g(s)|<ε/3 である。

よって、|t−s|<δとすると、



つまり、g は一様連続である。

(3)の証明

(1)、(2)より、g は一様連続関数 g に一様収束する。

また、各 N に対して g∈Cper である。

よって、g∈Cper である。

よって、

Z14

f∈Cper とおく。

−∞≦n≦∞|f(n)|<∞ であるとする。

このとき、S[f] は f に一様収束する。

証明

いま、f(n) は n に関する複素数列と見なせる。

また、S[f]=−N≦r≦N(r)e である。

よって、ある g∈Cper が存在して、次が成り立つ。(※Z13)

(1) S[f] は g に一様収束する。

(2) g は一様連続である。

(3) 任意の整数 n に対して f(n)=g(n)である。

よって、f=g である。(※Z11)

Z15

f∈Cper とおく。

f は C 級であるとする。

このとき、−∞≦n≦∞|f(n)|<∞ である。

証明

部分積分より、



つまり、(f’)(r)=2πirf(r)である。

いま、f’∈Cper である。

よって、−∞≦n≦∞|(f’)(n)|=|| S[f’] ||=|| f’ ||L2<∞ である。(※Z10)

よって、−∞≦n≦∞4π|f(n)|<∞ である。(★)

ここで、a=(an∈、b=(bn∈ を次のように定める。



よく知られているように、1≦n≦∞1/n<∞ である。

よって、a∈finit である。

また、(★)より、b∈finit である。

よって、|(a、b)|≦|| a |||| b ||<∞ である。(※シュワルツの不等式)

また、(a、b)=2πn≠0|f(n)|である。

よって、−∞≦n≦∞|f(n)|<∞ である。

Z16 ( C級 ⇒ フーリエ級数は一様収束する )

f∈Cper とおく。

f は C 級であるとする。

このとき、S[f] は f に一様収束する。

証明

明らかである。(※Z14、Z15)

Z17

f∈Cper とおく。

f は C 級であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) S[f(n)]=−N≦r≦N(2πir)(r)e

(2) S[f(n)] は N→∞ で f(n) に一様収束する。

証明

いま、各 f(n) は C 級である。

よって、S[f(n)] は f(n) に一様収束する。(※Z16)

いま、(f’)(r)=2πirf(r)である。(※Z16の証明)

よって、S[f(n)]=−N≦r≦N(f(n)(r)e−N≦r≦N(2πir)(r)e である。