パーセヴァルの等式

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参考 ( 概要 )

このページではパーセヴァルの等式を証明する。

復習 ( フーリエ変換&フーリエ逆変換[数学ver])

次のように定義する。





このとき、(*1)を 『 f(t)のフーリエ変換 』 という。

また、(*2)を 『 F(ω)のフーリエ逆変換 』 という。

復習 ( フーリエ変換&フーリエ逆変換[物理ver])

次のように定義する。





第1式を 『 f(x)のフーリエ変換 』 という。

第2式を 『 F(k)のフーリエ逆変換 』 という。

復習 ( フーリエ変換の複素共役 )

F(ω)を f(t) のフーリエ変換とする。

このとき、

復習 ( 合成積定理 )

(ω)を f(t) のフーリエ変換とする。

(ω)を f(t) のフーリエ変換とする。

次のように定める。



合成積は次のように定義される。



明らかに f*f=f*f である。

P* ( パーセヴァルの等式 )

(ω)を f(t) のフーリエ変換とする。

(ω)を f(t) のフーリエ変換とする。

このとき、



とくに、

補足

関数空間の内積を∫fgで定義すると、ノルムは∫|f|である。

つまり、定理の式は 「 f(t)の内積 」 と 「 F(ω)の内積 」 が(定数2π倍を除いて)等しいことを意味する。

参考(物理ver)を採用すると、因数 1/2π は不要である。

補足

f(t)を抵抗の端子電圧波形として解釈しよう。

すると、定理の第2式は 「 抵抗で消費される全エネルギー 」 に相当する。

ゆえに、|F(ω)|は 『 f(t)のエネルギースペクトル密度 』 と呼ばれる。

証明

いま、次が成り立つ。(※復習:合成積定理、フーリエ変換の複素共役)



ω=0 として z と ω を入れ替えると、