不確定性関係の導出〜初等ver

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規約 ( 無限遠の境界条件 )

ψ(x、t) を粒子の量子状態とする。

いま、次が成り立つ。(※確率解釈)



よって、有限な範囲を除いて|ψ(x、t)|=0 である。

そこで、次の条件を規約することは自然である。

ただし、この規約は運動量オペレータの固有状態を考えるときに矛盾が出る。

その場合、自由電子系などでは周期的境界条件を規約することで問題を回避する。

定義 ( 分散 )

A を連続的データとする。

次のように定義する。



このとき、ΔA を 『 A の分散 』 という。

つまり、分散は 『 2乗偏差平均 』 である。

P1 ( 不確定性関係 )

Δx を位置 x の分散とする。

Δp を運動量 p の分散とする。

座標系を選ぶことで 〈x〉=0、〈p〉=0 としてよい。

つまり、Δx=√〈x〉、Δp=√〈p〉 である。

このとき、

証明

よく知られているように、次が成り立つ。(※確率解釈)





一方、



次のようにおく。



いま、(*1)より、B−4AC≧0 である。(★)

また、



また、次のように計算できる。(※規約:無限遠での境界条件)





(★)、(*2)〜(*4)より、