フックの法則→「等方弾性体の弾性定数」

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参考 ( 概要 )

このページでは 『 等方弾性体の構成式 』 を導く。

等方弾性体の構成式を導く方法として次がある。

(1) 4階テンソルの一般式を用いる。

(2) 回転対称性を用いる。

このページでは(2)の方法で議論する。

この方法は計算が長いが、初等的である。

要請 ( フックの法則 )

応力テンソル σij と歪テンソル epq の間に次の線形関係が成り立つとする。

ijpq は4階テンソルである。

むろん、Cijpq=Cjipq である。(※応力テンソルの対称性σij=σji

また、Cijpq=Cijqp である。(※歪テンソルの対称性epq=eqp

注意 ( Voigt表記(フォークト表記))

既に確認したように、応力テンソルと歪テンソルは対称性をもつ。

つまり、σij=σji であり、epq=eqp である。

よって、応力テンソルや歪テンソルがもつ独立成分は6つである。

このことに注意して次のようにおく。



これを 『 Voigt表記(フォークト表記)』 という。

以下の議論ではVoigt表記(フォークト表記)を用いることも多い。

定義 ( 弾性定数 )

Voigt表記(フォークト表記)を用いると、フックの法則は次のように表される。



この cij を 『 弾性定数 』 という。

定義 ( 等方弾性体 )

弾性定数が座標系に依存しない弾性体を 『 等方弾性体 』 という。

復習 ( 応力テンソルの対称性 )

応力テンソルは対称テンソルである。

つまり、応力テンソル [σij] の成分について σij=σji が成り立つ。

復習 ( コーシーの関係式 )

を(面の)単位法ベクトルとする。

を単位面に働く表面力とする。

このとき、t=σn である。

復習 ( テンソルの変換則 )

T=(Tij)をテンソルとする。

M=(αij)を回転行列とする。

T’を、T を M によって座標変換したものとする。

このとき、T’=MTM である。

P1 ( z軸に関する回転対称性 )

z軸に関する回転対称性を仮定すると、弾性定数は次のように表される。



つまり、独立な弾性定数は5個である。

証明

z軸まわりの座標回転は、



よって、次が成り立つ。(※テンソルの変換則:T’=MTM



上式を整理すると、



同様に、歪み成分は、



フォークと表記で表すと、





また、次が成り立つ。(※要請:フックの法則)



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*3)、(*2)より、





(*1)の第3式によって、e と e に関して係数比較を行うと、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*3)、(*2)より、





(*1)の第1式によって、e、e、e、e、e に関して係数比較を行うと、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*3)、(*2)より、





(*1)の第5式によって、e と e に関して係数比較を行うと、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上をまとめると、次のようになる。(※復習:応力テンソルの対称性)

P2 ( x軸に関する回転対称性 )

x軸に関する回転対称性を仮定すると、弾性定数は次のように表される。



つまり、独立な弾性定数は5個である。

証明

x軸まわりの回転は、



よって、次が成り立つ。(※テンソルの変換則:T’=MTM



上式を整理すると、



一方、P1の証明に書いたように、P1の弾性定数については次が成り立つ。



つまり、P2はP1の指標を次のように置き換えたものである。(括弧内はフォークト表記の番号)



つまり、次のようになる。



よって、x軸まわりに回転対称な弾性定数は、

P3 ( 等方弾性体の構成式 )

等方弾性体の弾性定数は次のように表される。



つまり、次が成り立つ。

補足

λとμの定義は以下の証明中で述べる。

μは 「 剛性率 」 という量に対応していて、せん断変形の生じる度合いを意味する。

λは物理的な意味をもたない。

証明

2つの軸まわりで回転対称性を仮定すると、残りの1つの軸に対しても回転対称となる。

よって、P1とP2の仮定を同時に要請すればよい。

P1とP2の結果を改めて書くと、



これをまとめると、



ここで、次のようにおく。



すると、c11=λ+2μとなる。

よって、