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参考 ( 磁性とは? )

磁石の磁力は電子の磁気モーメントが物質全体で同じ向きになることに由来する。

磁気モーメントとして次の2つがある。

(1) 電子の軌道角運動量 L に由来する軌道磁気モーメント M

(2) 電子のスピン角運動量 S に由来するスピン磁気モーメント M

ただし、以下では簡略化のために M を M と表すことも多い。

参考 ( スピンオペレータ )

よく知られているように、スピンオペレータ S=(S、S、S)に対して次が成り立つ。(※量子力学)



ただし、以下では表記を簡単化するために S を h/2π で割ったものを改めて S と表す。

つまり、



また、次が成り立つ。

(1) S∧2 の固有値は S(S+1) である。

(2) S の固有値は −S、−S+1、・・・、S である。

電子の場合、S=1/2 である。

つまり、電子に対して S∧2 の固有値は 3/4 である。

また、量子化軸を z 方向とすると、S の固有値は ±1/2 である。

参考 ( ボーア磁子 )

スピン磁気モーメント M は次のように表される。(※量子力学)



このとき、g を 『 g因子 』 という。

また、μ を 『 ボーア磁子 』 という。

電子の場合は h=2 である。

定義 ( ハイゼンベルグモデル )

φ(r)、φ(r)を隣接する原子の波動関数とする。

ハミルトニアンが次のように表されるモデルを考える。



これを 『 ハイゼンベルグモデル 』 という。

〈i、j〉 は i と j の対について和をとることを意味する。

例えば、(i、j)=(1、2)と(i、j)=(2、1)は同じ対なので1回のみ和をとる。

ij を 『 交換積分 』 という。

ij>0 の場合、隣接するスピンが同方向をもつことを意味する。

これを 『 強磁性体 』 という。

ij<0 の場合、隣接するスピンが逆方向をもつことを意味する。

これを 『 反強磁性体 』 という。

このモデルは絶縁体化合物の 『 磁性体 』 に合う。

一方、このモデルは金属には合わない。

なぜなら、金属では電子が結晶中を自由に運動するからである。

定義 ( XYZモデル )

ハミルトニアンが次のように表されるモデルを考える。



これを 『 XYZモデル 』 という。

ハイゼンベルグモデルの H=−2〈i、j〉ij・S はスピン空間の回転に対して不変である。

なぜなら、ベクトルの内積は座標軸の取り方に依存しないからである。

しかし、現実の物質の場合、磁気モーメントはスピン磁気モーメント M と軌道磁気モーメント M から成る。

そして、スピン角運動量と軌道角運動量は独立ではない場合がある。

その場合、ハイゼンベルグモデルにスピン空間の異方性を導入して定義の式を得る。

定義 ( イジングモデル )

ハミルトニアンが次のように表されるモデルを考える。



ただし、上式右辺の H は外部磁場の強度を意味する。

このモデルを 『 イジングモデル 』 という。

XYZモデルのハミルトニアンは H=−2〈i、j〉(Jijx∧x∧x∧+Jijy∧y∧y∧+Jijz∧z∧z∧)である。

強磁性体の場合、スピンは全て z 方向に揃う。

よって、S のみを考えればよい。

つまり、H= −2〈i、j〉ijz∧z∧ である。

ここで、外部磁場 H を加える。

磁場 H 中の磁気モーメント M のエネルギーは −M・H である。

また、Sz∧ と Sz∧ の固有値は S=σ/2 ( σ=±1 ) としてよい。(※参考:スピンオペレータ)

よって、H=−〈i、j〉ijσσ−μHσ である。

ただし、H=|H|であり、因子 2 は Jij に含めた。