位相群の基礎

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定義 ( 局所コンパクト )

X を位相空間とする。

任意の点 x∈X に対し、ある開近傍 U が存在して、 がコンパクトであるとする。

このとき、「 X は局所コンパクトである 」 という。

P1

X を局所コンパクトなハウスドルフ空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) X は正則空間である。

(2) X が高々可算個の閉集合 X の和集合ならば、少なくとも1つの X は内点をもつ。

(1)の証明

x∈X とおく。

U を x の開近傍とする。

( ある(xの)近傍 V が存在して、⊂U となることを示せばよい )

いま、X は局所コンパクトである。

よって、 がコンパクトであると仮定してよい。

いま、−U は の閉集合である。

よって、−U はコンパクトである。(※コンパクト集合の閉集合はコンパクト)

いま、x は −U に属さない。

よって、任意の y∈−U に対し、次が成り立つ。

(*) x の近傍 V⊂U と y の近傍 O が存在して、V∩O=φとなる。

いま、{ O|y∈−U } は −U を被覆する。

よって、有限個の O、・・・、O が存在して −U を被覆する。

つまり、−U⊂O∪・・・∪O となる。

いま、V=V∩・・・∩V は U に含まれる x の近傍である。

また、∩(X−O∩・・・∩O)⊂U である。

よって、X は正則である。

(2)の証明

すべての X は内点をもたないと仮定する。(背理法)

∈X とおく。

を x の開近傍とする。

いま、X は局所コンパクトである。

よって、 はコンパクトであると仮定してよい。

いま、X は内点をもたない閉集合である。

よって、U−(X∩U)は空でない開集合である。

∈U−(X∩U)とおく。

(1)より、X は正則である。

よって、ある(xの)近傍 U が存在して、⊂U−(X∩U)となる。

いま、X は内点をもたない閉集合である。

よって、上記と同様に、ある(xの)近傍 U が存在して、⊂U−(X∩U)となる。

これを繰り返し、⊂Un−1−(X∩Un−1)となる。

いま、⊃・・・である。

これはコンパクト集合 の中の閉集合の減少列である。

よって、∩1≦n≦∞≠φである。(★1)

一方、∩X=φである。

いま、X=∪1≦n≦∞ である。

よって、∩1≦n≦∞=φである。(★2)

つまり、(★1)は(★2)に矛盾している。

定義 ( 位相群 )

G を集合とする。

次が成り立つとする。

(1) G は群である。

(2) G は T 空間である。

(3) G の演算は連続である。

このとき、G を 『 位相群 』 という。

注意 ( P、J )

P:G×G→G を P(g、h)=gh で定義する。

J:G→G を J(g)=g−1 で定義する。

定義(位相群)の(3)は、P と J が連続であることを意味する。

P2

Q:G×G→G を Q(g、h)=g−1h で定義する。

このとき、次は同値である。

(1) P と J は連続である。

(2) Q は連続である。

証明

(1)を仮定する。

いま、Q(g、h)=P(J(g)、h)である。

よって、Q は連続である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、J(g)=Q(g、e)は連続である。

また、P(g、h)=Q(J(g)、h)は連続である。

P3

、G を位相群とする。

このとき、G×G は自然に位相群となる。

証明

×G に 「 積としての群 」 と 「 積としての位相 」 を入れればよい。

P4 ( 位相群の部分群は位相群である )

G を位相群とする。

H を G の部分群とする。

このとき、H は自然に位相群となる。

証明

H に G の部分空間としての位相を入れればよい。

定義 ( 左移動、右移動 )

g∈G とおく。

:G→G を L(x)=gx で定義する。

:G→G を R(x)=xg で定義する。

このとき、L を 『 G の左移動 』 という。

また、R を 『 G の右移動 』 という。

定義 ( 内部自己同型 )

g∈G とおく。

:G→G を A(x)=gxg−1 で定義する。

明らかに、A は同型写像である。

( つまり、全単射準同型写像である )

このとき、A を 『 内部自己同型写像 』 という。

P5

J、L、R、A は同相写像である。

証明

定義より、J は連続写像である。

また、明らかに、J は全単射である。

また、J−1=J であるから、J−1 は連続である。

以上により、J は同相写像である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(x)=P(g、x)であるから、L は連続である。

明らかに、L は全単射である。

また、L−1=L−1 であるから、L−1 は連続である。

以上により、L は同相写像である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=L*R−1 である。

よって、A は同相写像である。

P6

X を G の部分集合とする。

O を G の開集合とする。

このとき、XO と OX は開集合である。

証明

g∈G とおく。

いま、gO=L(O)である。

よって、gO は開集合である。(※P5)

よって、XO=Ug∈XgO は開集合である。

注意 ( 基本近傍系の公理 )

X を集合とする。

各点 x∈X に対し、X の部分集合系 (x) が与えられているとする。

また、次が成り立つとする。

(1) U∈(x) ⇒ x∈U

(2) U、V∈(x) ⇒ ある W∈(x)が存在して、W⊂U∩V となる。

(3) U∈(x)、y∈U ⇒ ある V∈(y)が存在して V⊂U となる。

ここで、次のように定義する。

(*) ={ O⊂X|任意の点 x∈O に対し、ある U(x)が存在して U⊂O となる }

このとき、 は開集合の公理を満たす。(★)

つまり、X に位相が定まる。

また、条件(1)〜(3)を 『 基本近傍系の公理 』 という。

これは位相空間論で有名である。

(★)の証明は省略する。

詳細を知りたい人は、位相空間論の書物などを参照。

ただし、これはとりあえず事実として認めれば後の理解に支障はない。

P7

G を群とする。

e∈G を単位元とする。

(e)={ Uλ|λ∈J } を e の基本近傍系とする。

( つまり、基本近傍系の公理を満たすということ )

これにより、G の位相は一意に定まる。

証明

g∈G とおく。

(g)={ gUλ|λ∈J } とおく。

いま、(g)は L による (e) の像である。

よって、(g)は点 g の基本近傍系である。(※P5)

よって、G の位相は一意に定まる。

P8

G を位相群とする。

(e)={ Uλ|λ∈J } を単位元 e∈G の基本近傍系とする。

次が成り立つ。

(1) ∩λ∈Jλ={e}

(2) Uλ、Uμ(e) ⇒ ある Uν(e)が存在してUν⊂Uλ∩Uμ となる。

(3) Uλ(e)、x∈Uλ ⇒ ある Uμ(e)が存在して xUμ⊂Uλ となる。

(4) Uλ(e) ⇒ ある Uμ(e)が存在して Uμ−1μ⊂Uλ となる。

(5) Uλ(e)、g∈G ⇒ ある Uμ(e)が存在して gUμ−1⊂Uλ となる。

(1)の証明

G は T であるから明らかである。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

(x)={ xUλ|λ∈J } は x の基本近傍系である。(※P7の証明)

よって、成り立つ。

(4)の証明

Q(x、y)=x−1y は点(e、e)において連続である。(※P2)

よって、成り立つ。

(5)の証明

(x)=gxg−1 は点 e において連続である。(※P5)

よって、成り立つ。

P9

G を群とする。

e を G の単位元とする。

(e)={ Uλ|λ∈J } を、e を含む部分集合系とする。

この (e) は、P8(1)〜(5)を満たすとする。

このとき、ある(Gの)位相が一意に存在して、次を満たす。

(1) G はその位相について位相群となる。

(2) (e)は e の基本近傍系である。

証明

一意性は既に示した。(※P7の証明)

( 次に、位相の存在性を示す )

g∈G に対して (g)={ gUλ|λ∈J } とおく。

いま、(g) は基本近傍系の公理を満たしている。

また、P8(1)より、∩λ∈JgUλ={g}である。

よって、この位相は T を満たす。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( 次に、G がこの位相に関して位相群となることを示す )

( そのためには、Q が連続であることを示せばよい )

(g、h)∈G×G とおく。

λ(e)とおく。

( つまり、g−1hUλ は g−1h の近傍である )

いま、P8(4)より、ある Uμ(e)が存在して、Uμ−1μ⊂Uλ となる。

また、P8(5)より、ある Uν(e)が存在して、(g−1h)−1ν(g−1h)⊂Uμ となる。

よって、



よって、Q は点(g、h)において連続である。

P10

G を位相群とする。

(e)={ Uλ|λ∈J } を単位元 e∈G の基本近傍系とする。

A を G の部分集合とする。

このとき、=∩λ∈JAUλ=∩λ∈JAUλ である。

証明

いま、任意のλに対し、xUλ−1 は x の近傍である。(※P6)

よって、次は同値である。

(*1) x∈

(*2) 任意のλに対し、xUλ−1∩A≠φである。

(*3) 任意のλに対し、x∈AUλ

よって、=∩λ∈JAUλ である。(★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

P:G×G→G を P(g、h)=gh で定義する。

λ∈J とおく。

いま、P は(e、e)で連続である。

よって、ある Uμ が存在して、Uμμ⊂Uλ となる。

一方、(★)より、AUμ=∩λ∈JAUμλである。

よって、AUμ⊂AUμμ⊂AUλ である。

よって、∩λ∈JAUλ⊂∩λ∈JAUλ である。

一方、明らかに、∩λ∈JAUλ⊂∩λ∈JAUλ である。

注意 ( 完全正則性 )

X を T 空間とする。

F を X の任意の閉集合とする。

を、F に含まれない X の任意の点とする。

ある連続関数 f:X→ が存在して次を満たすとする。

(1) f(x)=0

(2) 任意の x∈F に対して f(x)=1 である。

(3) 任意の x∈X に対して 0≦f(x)≦1である。

このとき、「 X は完全正則である 」 という。

ちなみに、次が成り立つ。

(*) 正規空間 ⇒ 完全正則空間 ⇒ 正則空間

P11

位相群は(位相空間として)正則である。

補足

つまり、位相群では T を仮定するだけで正則性が満たされる。

ちなみに、それだけではなくて、位相群は完全正則性を満たす。

証明

F を G の閉集合とする。

x を、F に属さない点とする。

いま、F= である。

よって、F=∩λ∈JFUλ である。(※P10)

よって、あるλに対し、x は FUλ に属さない。

いま、G−FUλ は x を含む開集合である。

また、FUλ は F を含む開集合である。(※P6)

よって、正則性が示された。

P12

G を位相群とする。

F を閉集合とする。

K をコンパクト集合とする。

このとき、FK は閉集合である。

証明

x を、FK に属さない点とする。

いま、F−1x∩K=φである。

また、F−1x は閉集合である。

(e)={ Uλ|λ∈J } を e の基本近傍系とする。

P10 より、



いま、K はコンパクトである。

よって、有限個のλ、・・・、λ を選んで次が成り立つ。(※位相空間)



λ を、Uλ∩・・・∩Uλ に含まれるものとする。

いま、F−1xUλ∩K=φである。

よって、xUλ∩FK=φである。

よって、FK は閉集合である。

定義 ( 作用〜その1 )

G を群とする。

X を集合とする。( この時点で X と G は無関係であることに注意 )

φ:G×X→X を写像とする。

φ(g、x)=gx と表す。

次が成り立つとする。

(1) g(hx)=(gh)x

(2) ex=x

このとき、φ を 『 G から X への作用 』 という。

定義 ( 変換群 )

φ:G×X→X を作用とする。

g∈G とおく。

:X→X を T(x)=gx で定義する。

このとき、T を 『 g によって定まる X の変換 』 という。

また、G を 『 X の変換群 』 という。

明らかに、T は全単射であり、T−1=T−1 である。

定義 ( 効果的 )

φ:G×X→X を作用とする。

任意の g∈G ( ただし g≠e ) に対し、変換 T は恒等変換ではないとする。

このとき、「 G は X に効果的に作用する 」 という。

定義 ( 等方性 )

φ:G×X→X を作用とする。

x∈X とおく。

={ h∈G|hx=x } とおく。

( 明らかに、H は G の部分群である )

このとき、H を 『 G の等方性群 』 という。

P13

φ:G×X→X を作用とする。

次は同値である。

(*1) G は X に効果的に作用する。

(*2) ∩x∈X={e}

証明

明らかである。

定義 ( 軌道 )

φ:G×X→X を作用とする。

x∈X とおく。

G(x)={ gx|g∈G } とおく。

このとき、G(x)を 『 x を含む G の軌道 』 という。

定義 ( 推移的 )

φ:G×X→X を作用とする。

ある x∈X が存在して、X=G(x)であるとする。

このとき、「 G は X に推移的に作用している 」 という。

定義 ( 作用〜その2 )

G を位相群とする。

φ:G×X→X を(群としての)作用とする。

さらに、φは連続であるとする。

このとき、φを 『(位相群としての) G から X への作用 』 という。

P14

φ:G×X→X を(位相群としての)作用とする。

X は T であるとする。

このとき、等方性群 H は閉部分群である。

証明

明らかである。

定義 ( 等質空間 )

φ:G×X→X を(位相群としての)作用とする。

さらに、φは推移的であるとする。

このとき、X を 『 G の等質空間 』 という。

定義 ( 剰余空間 )

G を位相群とする。

H を閉部分群とする。

G/H を G の H による剰余類とする。

π:G→G/H を自然な射影とする。

つまり、π(g)=gH であるとする。

G/H={ D⊂G/H|π−1(D)は G の開集合 } と定義する。

明らかに、G/H は G/H の位相である。

このとき、G/H を 『 G の H による剰余空間 』 という。

P15

G/H を剰余空間とする。

π:G→G/H を射影とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) πは連続である。

(2) πは開写像である。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

O を G の開集合とする。

いま、π−1(π(O))=OH は G の開集合である。(※P6)

よって、π(O)は G/H の開集合である。(※定義:剰余空間)

P16 ( G/H は G の等質空間である )

G/H を剰余空間とする。

:G/H→G/H を T(hH)=(gh)H で定義する。

φ:G×G/H→G/H をφ(g、x)=T(x)で定義する。

このとき、次が成り立つ。

(1) φは連続である。

(2) T は同相写像であり、T−1=T−1 である。

(3) G/H は G の等質空間である。

補足

図示すると、

(1)の証明

D を G/H の開集合とする。

いま、(1×π)−1(φ−1(D))=P−1(π−1(D))である。

また、P とπは連続である。

よって、(1×π)−1(φ−1(D))は開集合である。

また、πは開写像である。

よって、1×πは開写像である。

つまり、1×πは全射な開写像である。

よって、φ−1(D)は開集合である。

よって、φは連続である。

(2)の証明

(1)より、T は連続である。

また、明らかに、T は全単射である。

また、明らかに、T−1 は T の逆写像である。

(3)の証明

x、y∈G/H とおく。

いま、x=aH、y=bH と表せる。

g=ba−1 とおく。

いま、T(x)=y である。

以上により、任意の x、y∈G/H に対し、ある x∈G/H、g∈G が存在して、T(x)=y となる。

つまり、G/H は G の等質空間である。

P17

G を位相群とする。

e を G の単位元とする。

{ Uλ|λ∈J } を e の基本近傍系とする。

π:G→G/H を射影とする。

このとき、{π(Uλ)|λ∈J } は x=π(e)の基本近傍系である。

証明

D⊂G/H を、x を含む開集合とする。

いま、π−1(D)は e を含む開集合である。

よって、ある Uλ が存在して、Uλ⊂π−1(D)となる。

よって、π(Uλ)⊂D である。

P18

G を位相群とする。

H を G の閉部分群とする。

このとき、G/H は正則空間である。

証明

π:G→G/H を射影とする。

いま、πは全射かつ連続な開写像である。(※P15)

よって、次は同値である。

(*1) G/H の部分集合 X は閉集合である。

(*2) π−1(X)は G の閉集合である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈G/H とおく。

いま、π−1(x)は H の左剰余類である。

つまり、閉集合 H を G の元によって左移動した像である。

よって、π−1(x)は閉集合である。(※P5)

よって、(*1)⇔(*2)より、x は G/H の閉集合である。

よって、G/H は T である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

F を G/H の閉集合とする。

x∈G/H は F に属さないとする。

=π(e)とおく。

いま、ある g∈G が存在して、x=π(g)=T(x)と表せる。

また、T:G/H→G/H は同相写像である。(※P16)

よって、F と x の代わりに T−1(F)と T−1(x)=x を考えればよい。

よって、最初から F として T−1(F)を考え、x として x x を考えればよい。

{ Uλ|λ∈J } を G の単位元の近傍系とする。

いま、{π(Uλ)|λ∈J } は x の近傍系である。(※P17)

よって、ある Uλ が存在して、π(Uλ)∩F=φとなる。

また、ある Uμ が存在して、Uμ−1μ⊂Uλ となる。(※P8)

g∈μ とおく。

いま、Uμg∩UμH≠φである。

よって、g∈Uμ−1μH⊂UλH である。

よって、μ⊂UλH である。

一方、h∈H に対し、R:G→G は同相写像である。

また、R(UμH)=UμH である。

よって、Rμ)=μ である。

つまり、μ は H を法とする左剰余類の和集合である。

( h∈H は任意であることに注意 )

よって、μ=π−1(π(μ))である。

よって、(*1)⇔(*2)より、π(μ)は G/H の閉集合である。

また、π(μ)⊂π(UλH)=π(Uλ)である。

よって、π(μ)∩F=φである。

いま、(G/H)−π(μ)とπ(UμH)=π(Uμ)は開集合であり、F と x を分離する。

つまり、G/H は正則空間である。

定義 ( 剰余群 )

G を位相群とする。

N を G の閉正規部分群とする。

このとき、G./N は位相群となる。(★)

この G/N を 『 剰余群 』 という。

(★)について証明

P:G×G→G を G についての積とする。

:G/N×G/N→G/N を G/N についての積とする。

π:G→G/N を射影とする。

図示すると、



これにより、 の連続性が示される。(※P16と同様)

同様に、逆元 :G/N→G/N についても連続性が示される。

また、G/N は T である。(※P18)

定義 ( 位相群の準同型写像 )

G、G’を位相群とする。

ρ:G→G’を準同型写像とする。

ρは連続であるとする。

このとき、ρを 『(位相群の)準同型写像 』 という。

とくに、G’=GL(n、)であるとき、ρを 『 G の表現 』 という。

これは表現論への入口である。

ただし、ここでは表現論については議論しない。

P19

G、G’を位相群とする。

ρ:G→G’を(群の)準同型写像とする。

ρは G の単位元 e において連続であるとする。

このとき、ρは連続写像である。

つまり、ρは位相群の準同型写像である。

証明

g∈G とおく。

いま、L−1 と Lρ(g) は同相写像である。

また、ρ=Lρ(g)*ρ*L−1 である。

いま、ρは e において連続である。

よって、ρは g において連続である。

P20 ( 位相群の準同型定理 )

G、G’を位相群とする。

ρ:G→G’を(位相群の)準同型写像とする。

ρは開写像かつ全射であるとする。

N=Kerρとする。

π:G→G/N を射影とする。

このとき、同型写像ρ:G/N→G’が存在する。

補足

この定理ではρ:G→G’について開写像と全射を仮定している。

すると、いつ準同型写像が開写像となるのかが気になるところである。

つまり、位相群の準同型定理の仮定はどのような条件で満たされるのか?

これは後のページで示される。

証明

いま、ある同型写像ρ:G/N→G’が存在して、ρ=ρ*πとなる。(※群の準同型定理)

また、ρとπは開写像かつ連続である。

よって、ρ は同相写像である。

P21

G を位相群とする。

X を G の等質空間とする。

X は T であるとする。

H を x における G の等方性群とする。

いま、H は閉部分群である。(※P14)

∈X とおく。

φ:G→X をφ(g)=gx で定義する。

φ:G/H→X を φ(gH)=φ(g)で定義する。

このとき、次が成り立つ。

(1) φは連続かつ全射である。

(2) 任意の g、h∈G に対し、gφ(h)=φ(gh)である。

(3) φ=φ*πである。

(4) φ は連続である。

(5) gφ(p)=φ(gp)である。

補足

任意の g、h∈G に対し、φ(g)=φ(h)⇔g≡h (modH) である。

だから φ を定義できる。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

明らかである。

(4)の証明

いま、πは開写像である。

また、φは連続である。

よって、φ は連続である。

(5)の証明

明らかである。

P22

G を位相群とする。

X を G の等質空間とする。

G はコンパクトであるとする。

X はハウスドルフ空間であるとする。

φ:G/H→X を P21 の意味で定義する。

このとき、φ は同相写像である。

証明

いま、G はコンパクトである。

また、π:G→G/H は連続である。

よって、G/H はコンパクトである。

いま、φ:G/H→X は全射かつ連続である。(※P21)

また、X はハウスドルフ空間である。

よって、φ は同相写像である。

P23

G を位相群とする。

X を G の等質空間とする。

X は局所コンパクトなハウスドルフ空間であるとする。

G は第2可算公理を満たし、局所コンパクトであるとする。

∈X とおく。

φ:G→X をφ(g)=gx で定義する。

φ:G/H→X を P21 の意味で定義する。

このとき、次が成り立つ。

(1) φは開写像である。

(2) φ は同相写像である。

(1)の証明

O を G の開集合とする。

∈O とおく。

( 後は、φ(g)がφ(O)の内点となることを示せば定理の証明が完了する )

いま、単位元 e∈G の近傍 V が存在して、gV⊂O となる。(★)

また、e∈G の近傍 U が存在して、U−1⊂V となる。(※P8)

また、G は正則である。

よって、e の近傍 U が存在して、⊂U となる。

よって、−1⊂V である。

いま、G は局所コンパクトである。

よって、U を十分小さくとり、 はコンパクトであるとしてよい。

いま、G=∪g∈GgU である。

また、G は第2可算公理を満たす。

よって、g、g、・・・∈G が存在して、G=∪1≦i≦∞∪ となる。

いま、φ:G→X は全射である。

よって、X=∪1≦i≦∞φ(gU)=∪1≦i≦∞φ(g)である。

いま、 はコンパクトである。

よって、g はコンパクトである。(※P5)

いま、φは連続である。

よって、φ(g)はコンパクトである。

いま、X はハウスドルフ空間である。

よって、φ(g)は X の閉集合である。

いま、X は局所コンパクトである。

よって、φ(g);n=1、2、・・・のうち、少なくとも1つは内点をもつ。(※P1)

また、G の各元によって定まる X の変換は同相写像である。(※P16)

よって、φ()=g−1φ(g)は内点をもつ。

いま、ある h∈ が存在して、φ(h)はφ()の内点である。

また、x=h−1φ(h)である。(※φの定義に注意)

よって、x は h−1φ()の内点である。

また、h−1φ()=φ(h−1)⊂φ(−1)⊂φ(V)である。(※P21)

よって、x はφ(V)の内点である。

よって、φ(g)=g は gφ(V)=φ(gV)の内点である。

よって、(★)より、φ(g)はφ(O)の内点である。

(2)の証明

既に示した。(※P22)

P24 ( 準同型定理を満たすための条件 )

G、G’を局所コンパクトな位相群とする。

ρ:G→G’を全射な準同型写像とする。

G は第2可算公理を満たすとする。

このとき、ρは開写像である。

補足

今回の定理は、P30(位相群の準同型定理)の補足で予告していた条件である。

P20 と P24 はセットで使用できる。

証明

ψ:G×G’→G’をψ(g、x)=ρ(g)x で定義する。

つまり、ψは作用である。

いま、G は G’への変換群である。

また、ρは全射である。

よって、単位元 e’∈G’の軌道は G’に一致する。

つまり、G’は G の等質空間である。

φ:G→G’をφ(g)=ge’で定義する。

( つまり、P23 において x=e’として考えている )

いま、φ=ρである。

よって、ρは開写像である。(※P23、P11)

P25

G を位相群とする。

を単位元 e∈G の連結成分とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) C は G の閉正規部分群である。

(2) G の各連結成分は、G の C による剰余類の1つに一致する。

(1)の証明

いま、C は閉集合である。(※連結成分が閉集合であることは位相空間論でよく知られている)(★1)

また、逆元 J:G→G は同相写像である。

よって、J(C) は J(e)=e の連結成分である。

つまり、J(C)=C である。

つまり、g∈C ならば g−1∈C である。(★2)

左移動 L は同相写像である。

よって、L(C)=gC は g の連結成分である。

また、(★2)より、L(C) は e=L(g−1)を含む。

よって、L(C)=C である。(★3)

つまり、g、h∈C ならば gh∈C である。(★4)

(★1)、(★2)、(★4)より、C は閉部分群である。(★5)

内部自己同型 A は同相写像である。

また、A(e)=e である。

よって、A(C)=C である。

よって、C は G の正規部分群である。(★6)

(★5)、(★6)より、(1)が示された。

(2)の証明

(★3)より、各連結成分は、G の C による剰余類の1つと一致する。

つまり、(2)が示された。

P26

G を位相群とする。

H を G の閉部分群とする。

H と G/H は連結であるとする。

このとき、G も連結である。

証明

π:G→G/H を射影とする。

いま、開集合 O、O が存在して、G=O∪O かつ O∩O=φとなるとする。

g∈G とおく。

いま、gH は連結である。(※P5)

また、gH=(gH∩O)∪(gH∩O)である。

よって、gH∩O=gH または gH∩O=φである。

よって、O は、H の剰余類の和集合である。

( g が任意であることに注意 )

よって、O=π−1(π(O))である。

についても同様である。

よって、G/H=π(O)∪π(O)かつπ(O)∩π(O)=φである。

いま、πは開写像である。

よって、π(O)とπ(O)は開集合である。

いま、G/H は連結である。

よって、π(O)またはπ(O)は空集合である。

よって、O または O は空集合である。

定義 ( 一般線形群 )

n次正則行列全体を GL(n、K) と表す。

( K= または である )

明らかに、GL(n、K)は群である。

これを 『 一般線形群 』 という。

P27

α∈GL(n、K)について (α)−1(α−1)である。

そこで、以下では α−1 と表す。

証明

明らかである。

注意

行列αの複素共役 α と表す。

定義 ( 直交行列 )

α∈GL(n、K)とする。

α=α−1 であるとする。

このとき、αを 『 直交行列 』 という。

定義 ( ユニタリ行列 )

α∈GL(n、)とする。

αα−1 であるとする。

このとき、αを 『 ユニタリ行列 』 という。

定義 ( 直交群 )

n 次直交行列全体を O(n、K) と表す。

明らかに、O(n、K)は群である。

これを 『 直交群 』 という。

定義 ( ユニタリ群 )

n次ユニタリ行列全体を U(n) と表す。

明らかに、U(n)は群である。

これを 『 ユニタリ群 』 という。

定義 ( 特殊線形群 )

行列式1の行列全体を SL(n、K) と表す。

明らかに、SL(n、K) は群である。

これを 『 特殊線形群 』 という。

定義 ( 回転群 )

行列式1の実直交行列全体を SO(n) と表す。

明らかに、SO(n)は群である。

これを 『 回転群 』 という。

定義 ( 特殊ユニタリ群 )

行列式1のユニタリ群全体を SU(n) と表す。

明らかに、SU(n) は群である。

これを 『 特殊ユニタリ群 』 という。

P28

次が成り立つ。

(*) O(n、)=O(n、)∩GL(n、)=O(n、)∩U(n)

証明

明らかである。

P29

GL(n、)は位相群としての構造をもつ。

証明

M(n、)を n 次正方行列全体とする。

M(n、)と n×n は自然に同一視できる。

よって、M(n、)には自然に距離が入る。

つまり、α=(aij)∈M(n、)に対し、||α||=(i、j|aij1/2 と定義すればよい。

いま、d(α、β)=||α−β|| は M(n、)の距離である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( 次に、GL(n、)の2つの代数的演算はこの距離に関して連続であることを示す )

( GL(n、)の積とは行列の積のことである )

( GL(n、)の逆元とは、逆行列のことである )

(aij)、(bij)∈M(n、)とおく。

いま、



よって、シュワルツの不等式より、



α’、β’∈GL(n、)とおく。

ただし、||α−α’||<δかつ || β−β’||<δであるとする。

いま、



よって、δを十分小さくとれば、||αβ−α’β’|| はいくらでも小さくなる。

つまり、積は連続である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

α=(aij)∈GL(n、)とおく。

いま、α−1=α/|α|である。(※線形代数)

α は余因子行列である。

余因子行列の各成分は、αの成分の多項式である。

つまり、α−1 の成分は、αの成分の多項式である。

つまり、α−1 の成分は、連続関数である。

よって、δを十分小さくとれば、||α−β||<δ⇒||α−1−β−1||<εとなる。

定義 ( End(V))

V を 上の n 次元ベクトル空間とする。

V の1次変換全体を End(V) と表す。

明らかに、End(V)は通常の和とスカラー倍によって複素ベクトル空間となる。

定義 ( GL(V))

V を 上の n 次元ベクトル空間とする。

V の正則な1次変換全体を GL(V) と表す。

明らかに、GL(V)は写像の合成を積として群になる。

注意 ( 基底によって定まる同型写像 )

V を 上の n 次元ベクトル空間とする。

E={ e、・・・、e } を V の基底とする。

次のように定義する。



いま、φは(ベクトル空間の)同型写像である。(※線形代数)

このφを 『 E によって定まる(ベクトル空間の)同型写像 』 と呼ぶことにする。

P30

V を 上のベクトル空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) GL(V) と GL(n、) は(群として)同型である。

(2) GL(V) と GL(n、) は同相である。

(3) GL(V) と GL(n、) は(位相群として)同型である。

(1)の証明

E={ e、・・・、e } を V の基底とする。

φ:End(V)→M(n、)を E によって定まる(ベクトル空間の)同型写像とする。

いま、T、S∈End(V)に対し、次が成り立つ。

(*1) φ(T+S)=φ(T)+φ(S)

(*2) φ(aT)=aφ(T) (a∈

(*3) φ(T*S)=φ(T)φ(S)

(*4) φ(I)=I ( I は恒等写像、I は単位行列 )

よって、明らかに、φは GL(V) から GL(n、) への(群の)同型写像を引き起こす。

(2)の証明

M(n、) と n×n は自然に同一視できる。

よって、M(n、)に位相を入れることができる。

φ:End(V)→M(n、)は全単射である。

これにより、End(V)に M(n、) の位相を入れる。

GL(V)に、End(V)の部分空間として位相を入れる。

明らかに、GL(V) は GL(n、)と同相である。

(3)の証明

(1)と(2)より、明らかである。(※P29)

P31 ( ユニタリ群の意味 )

V を 上の n 次元内積空間とする。

V の内積を保存する1次変換全体を U(V) と表す。

( つまり、u∈U(V)ならば(u(v)、u(w))=(v、w)である )

E={ e、・・・、e } を V の正規直交基底とする。

φ:GL(V)→GL(n、)を(群の)同型写像とする。(※P30)

このとき、φ(U(V))=U(n)である。

補足

U(n)はユニタリ群を意味する。

この定理により、ユニタリ群の幾何的な意味が分かるであろう。

証明

明らかである。

定義 ( 双1次形式 )

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

f:V×V→K を双1次形式とする。

( つまり、f(v、w)は v と w に関して線形である )

任意の v、w∈V に対して f(v、w)=f(w、v)であるとき、「 f は対称である 」 という。

任意の v、w に対して f(v、w)=−f(w、v)であるとき、「 f は交代である 」 という。

任意の w に対して f(v、w)=0 ならば、v=0 となるとき、「 f は非退化である 」 という。

P32 ( 直交群 )

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

B:V×V→K を非退化対称双1次形式とする。

G(B)を、B を不変にする1次変換全体とする。

( つまり、T∈G(B)はB(Tv、Tw)=B(v、w)である )

いま、ある基底 { e、・・・、e }⊂V が存在して、B(e、e)=δij となる。(※線形代数)

φ:GL(V)→GL(n、)を(群の)同型写像とする。(※P30)

このとき、φ(G(B))=O(n、K)である。

補足

O(n、K)は直交群を意味する。

証明

明らかである。

定義 ( ローレンツ群、ドジター群 )

V を 上のベクトル空間とする。

B:V×V→ を非退化対称双1次形式とする。

いま、ある基底 { e、・・・、e }⊂V が存在して、次を満たす。(証明略)



とくに、整数 r≧0 は B に対して一意に定まる。

G(B)を、B を不変にする1次変換全体とする。

φ(G(B))=O(r、n−r)と表す。

O(3、1)を 『 ローレンツ群 』 という。

O(4、1)を 『 ドジター群 』 という。

O(n−1、1)を 『 一般ローレンツ群 』 という。

P33

O(r、n−r)は、次の条件を満たす正則行列 A 全体である。

(*1) ADr、n−rA=Dr、n−r

(*2) Dr、n−r=diag(1、・・・、1、−1、・・・、−1)

ただし、(*2)の右辺において、1は r 個、−1は n−r 個だけ並んでいる。

証明

明らかである。

定義 ( シンプレティック群 )

V を K 上の 2m 次元ベクトル空間とする。

A:V×V→K を非退化交代1次形式とする。

A を不変にする1次変換全体を G(A) と表す。

いま、ある基底 { e、・・・、e2m } が存在して、次を満たす。(※線形代数)

(*1) A(e、e)=A(em+i、em+j)=0

(*2) A(e、em+j)=δij ( 1≦i、j≦m )

φ:GL(V)→GL(2m、K)を { e、・・・、e2m } によって定まる同型写像とする。

φ(G(A))=S(m、K)とおく。

(m)=S(m、)∩U(2m)とおく。

このとき、S(m、K)を 『 Kシンプレティック群 』 という。

また、S(m)を 『 シンプレティック群 』 という。

P34

(m、K)は、次の条件を満たす正則行列 A 全体である。

証明

明らかである。

参考

(m、K)は GL(2m、K)の閉部分群である。

(m)は U(2m) の閉部分群である。

よって、S(m)はコンパクトな群である。

定義 ( リー群 )

G を集合とする。

次が成り立つとする。

(1) G は群である。

(2) G は実解析多様体である。

(3) G の(群としての)演算は実解析的である。

このとき、G を 『 リー群 』 という。

G の(多様体としての)次元を dimG と表す。

注意 ( P、J )

P:G×G→G を P(g、h)=gh で定義する。

J:G→G を J(g)=g−1 で定義する。

定義(リー群)の(3)は、P と J が実解析的であることを意味する。

P35

Q:G×G→G を Q(g、h)=g−1h で定義する。

このとき、次は同値である。

(1) P と J は実解析的である。

(2) Q は実解析的である。

証明

明らかである。(※P2と同様)

参考

位相群の部分群は自然に位相群となる。(※P4)

一方、リー群の部分群がリー群になるとは限らない。

つまり、リー部分群に関する議論は、それほど簡単ではない。

これについては2章で扱う。

復習 ( 左移動、右移動 )

g∈G とおく。

:G→G を L(x)=gx で定義する。

:G→G を R(x)=xg で定義する。

このとき、L を 『 G の左移動 』 という。

また、R を 『 G の右移動 』 という。

復習 ( 内部自己同型 )

g∈G とおく。

:G→G を A(x)=gxg−1 で定義する。

明らかに、A は同型写像である。

( つまり、全単射準同型写像である )

このとき、A を 『 内部自己同型写像 』 という。

P36

J、L、R、A は全単射かつ実解析的である。

証明

明らかである。(※P5と同様)

定義 ( 準同型写像 )

G、G’をリー群とする。

ρ:G→G’を(群の)準同型写像とする。

また、ρは実解析的であるとする。

このとき、ρを 『(リー群の)準同型写像 』 という。

とくに、G’が GL(n、) であるとき、ρを 『 G の表現 』 という。

P37

G、G’をリー群とする。

ρは単位元 e∈G において実解析的であるとする。

このとき、ρは実解析的である。

つまり、ρは(リー群の)準同型写像である。

証明

明らかである。(※P19と同様)

定義 ( 付随する位相群 )

G をリー群とする。

いま、G には多様体構造に付随する位相が入っている。

また、G の群演算は実解析的である。

よって、G の群演算は、この位相に関して連続である。

つまり、G はこの位相に関して位相群である。

そこで、これを 『 G に付随する位相群 』 という。