回転行列(座標系の回転、座標点の回転)

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(*) 回転行列[座標系ver]

(*) 回転行列[座標点ver]

(*) 回転行列の逆行列

(*) 回転行列の覚え方

(*) 座標変換の誤解[その1]

(*) 座標変換の誤解[その2]

参考 ( 回転行列[座標系ver])

次のようなベクトルを考える。



ここで、座標系をθ回転させる。



いま、次が成り立つ。



これは次のように表せる。



これは(座標系の)回転である。

これは v=(v、v)を時計回りに角度θだけ回転させて v’=(v’、v’)を得ることを意味する。

参考 ( 回転行列[座標点ver])

次のようなベクトルを考える。



ここで、ベクトル v をθ回転させる。

回転後のベクトルを v’ と表す。



むろん、|v|=|v’|である。

明らかに、次が成り立つ。



つまり、



これは(座標点の)回転である。

これは v=(v、v)を反時計回りに角度θだけ回転させて v’=(v’、v’)を得ることを意味する。

参考 ( 回転行列の逆行列 )

回転行列[座標系ver]と[座標点ver]を掛けてみると、



このように、単位行列となる。

たしかに、座標をθ回転させ、ベクトルをθ回転させれば、ベクトルの成分は元に戻るであろう。

むろん、時計回りの回転行列のθを−θに置き換えると反時計回りの回転行列になる。

参考 ( 回転行列の覚え方 )

次の回転行列を考える。



このとき、「 右回転なのか左回転なのか分からない 」 と問う人がいるかもしれない。

これを解決するために暗記は不要であり、少し考えれば分かる。

実際、回転角θとして微小角εを考えればよい。

いま、近似的に cosε=1 とし、sinε=ε としてよい。(★)

つまり、



これを点(1、0)や点(0、1)に作用させてみよう。

すると、



図示すると、



つまり、右回転であると分かる。

(★)について補足

f(θ)=cosθが微分すると、f’(θ)=−sinθであり、f’(0)=0 である。

つまり、cosθは θ=0 の近くではほとんど変化しない。

つまり、θとして微小角εを考える場合は近似的に cosε=cos0=1 としてよい。

一方、よく知られているように、



よって、θとして微小角εを考える場合は近似的に sinε=ε としてよい。

参考 ( 座標変換の誤解[その1])

座標系 O-xy に角θ回転を実行し、座標系 O-x’y’を得たとする。

このとき、座標変換公式は、



数学において、とくに断りなく 「 回転 」 と呼ぶ場合は 「 左回り 」 を意味する。

つまり、ここでは座標系 O-xy を左回りに回転させて O-x’y’を得ている。

ここで、

「 それなら、座標変換公式で右回りの回転行列を用いることは間違いでは? 」

・・・と問う人がいるかもしれない。

しかし、問題はない。

なぜなら、回転後の 「 座標系 」 から見た場合、回転前の 「 座標点 」 は−θ回転した位置にあるからである。

「 座標系 」 と 「 座標点 」 を混同しないように注意しよう。

参考 ( 座標変換の誤解[その2])

z軸まわりの回転は次のように表される。



y軸まわりの回転は次のように表される。



ここで、(*1)と(*2)は回転行列の部分が転置の関係になっていることに注意しよう。

これは座標軸の関係が異なることによる。



つまり、z軸まわりの回転は、



一方、y軸まわりの回転は、

ちなみに、このことは 『 オイラー角 』 に関連して重要である。