確定特異点、決定方程式、ベッセル微分方程式、ノイマン関数

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参考

y’’+p(x)y’+q(x)=0 を微分方程式とする。(★)

p(x) と q(x) が x=x を含む区間で連続であるとする。

このとき、(★)は初期値に対して一意に解をもつ。(※解の存在と一意性)

さらに、p(x) と q(x) が解析的であるとすると、(★)の解は級数解で求めることができる。

ただし、解析的であるとは、テイラー展開可能であることを意味する。

実は、p(x) と q(x) が正則点でなくても、確定特異点であれば、級数解で求められる。

確定特異点とは、あるνが存在して、xνp(x) や xνq(x) が解析的であることを意味する。

以下、正則点から復習し、確定特異点の基礎を述べる。

定義 ( 級数解 )

微分方程式の解で、巾級数で表されるものを 『 級数解 』 という。

定義 ( 正則点 )

y’’(x)+P(x)y’(x)+Q(x)y(x)=0 を微分方程式とする。(★)

P と Q は x=a まわりでテイラー展開可能であるとする。

このとき、a を 『 (★)の正則点 』 という。

とくに、(★)が定数係数ならば、任意の点 x=a は正則点である。

定義 ( ベッセル微分方程式 )

y’’(x)+xy’(x)+(x−α)y(x)=0 を微分方程式とする。(★)

αは実定数であるとする。

このとき、(★)を 『 ベッセル微分方程式 』 という。

参考 ( ベッセル微分方程式において x=0 は正則点ではない )

ベッセル微分方程式に対し、x=0 は正則点ではない。

このことを確認してみよう。

まず、ベッセル微分方程式の両辺を x で割る。

すると、y’の係数は 1/x となる。

1/x はテイラー展開できない。

つまり、x=0 は正則点ではない。

そこで、ベッセル微分方程式について基本解を求めるためには工夫が必要である。

以下、そのための議論を行う。

定義 ( 確定特異点、特性指数 )

y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 を微分方程式とする。(★)

p(x)=(x−a)P(x)、q(x)=(x−a)Q(x) は x=a で解析的であるとする。

このとき、a を 『 (★)の確定特異点 』 という。

(★)に対し、ある解 y(x) が存在して、y(x)=(x−a)ν(y+y(x−a)+y(x−a)+・・・) と表せるとする。

このとき、ν を 『 a における特性指数 』 という。

「 x=a で解析的である 」 は 「 x=a まわりでテイラー展開可能である 」 を意味する。

x=a の代わりに x=0 で考えても一般性を失わない。

実際、独立変数を X=x−a で変換すれば、x=a は X=0 に対応する。

つまり、y’’+P(X)y’+Q(X)y=0 に対して y(X)=Xν(y+yX+y+・・・) を考えればよい。

P1 ( 決定方程式 )

y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 を微分方程式とする。(★1)

x=a を(★1)の確定特異点とする。

つまり、(x−a)y’’+(x−a)p(x)y’+q(x)y=0 と表せる。(★2)

f(λ)=λ(λ−1)+pλ+q とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) y≠0 を満たす解 y(x)=(x−a)ν(y+y(x−a)+y(x−a)+・・・)が存在するならば、f(ν)=0 である。

(2) f(ν)=0 かつ f(ν+1)、f(ν+2)、・・・≠0 ならば、(1)の y、y、・・・ は y に対して一意に定まる。

補足

上記の f を 『 νの決定方程式 』 という。

補足

簡略化のため、以下では a=0 の場合について考える。

(1)の証明

いま、p(x)=0≦k≦∞、q(x)=0≦k≦∞ とおいてよい。(※定義:確定特異点)

y(x)=(x−a)ν(y+y(x−a)+y(x−a)+・・・) を(★2)に代入する。( ただし a=0 とする )

すると、



式変形すると、



いま、xν の係数は f(ν)y である。

よって、f(ν)y=0 である。

よって、f(ν)=0 である。

(2)の証明

(1)の証明で示した式について、xν+1 の係数は f(ν+1)y+(νp+q)y である。

よって、f(ν+1)y+(νp+q)y=0 である。

f(ν+1)≠0 であるとする。

いま、y=−(νp+q)y/f(ν+1) である。

同様に、xν+2 の係数より、f(ν+2)≠0 から y が定まる。

これを繰り返せばよい。

P2

y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 を微分方程式とする。(★1)

x=a を(★1)の確定特異点とする。

つまり、(x−a)y’’+(x−a)p(x)y’+q(x)y=0 と表せる。(★2)

f(ν)=0 を、決定方程式とする。

ν± を、決定方程式の2つの解とする。( 決定方程式は2次式であることに注意 )

ν−ν は整数でないとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 解 y±(x)=(x−a)ν±(1+y±(x−a)+y±(x−a)+・・・) が一意に定まる。

(2) y±(x) は、p(x) と q(x) の収束半径内の共通部分で収束する。

(3) y と y は解空間の基底である。

補足

もしかしたら、

「 ν−ν が整数となる場合はどうするのか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

これについては 『 フロベニウスの方法 』 がある。

しかし、ここでは省略する。

(1)の証明

簡略化のため、a=0 の場合について考える。( a≠0 も同様 )

いま、ν−ν は整数ではない。

また、ν=ν± は f(ν)=0 の解である。

よって、f(ν)=0 かつ f(ν+1)≠0、f(ν+2)≠0、・・・ である。

つまり、P3(2)の仮定が満たされる。

つまり、y(x) は一意に定まる。

(2)の証明

P1(1)の証明で示した式より、



p(x) と q(x) の収束半径は R 以上であるとする。

いま、自然数 N を十分大とすると、n≧N ⇒ |p|、|q|<M/R かつ|f(ν+n)|≧n である。

よって、



ここで、上式の右辺を Y とおく。

いま、



よって、次が成り立つ。(※|y|≦Y に注意 )



よって、



よって、y±(x)=xν±0≦n≦∞± は|x|<R で絶対収束する。

(3)の証明

簡略化のため、a=0 とする。

Ay(x)+By(x)=0 とおく。

両辺を x−ν 倍する。

すると、0=A xν−ν(1+yx+・・・)+B(1+yx+・・・)→B ( x→0 ) である。

つまり、B=0 である。

同様に、A=0 である。

P3 ( ベッセル微分方程式の基本解 )

y’’+xy’+(x−α)y=0 をベッセル微分方程式とする。(★)

αは整数でないとする。

このとき、(★)の基本解として Jα(x)=0≦n≦∞2n+α2n+α、J−α(x)=0≦n≦∞2n−α2n−α を採用できる。

補足

α(x) と J−α(x) を 『 ベッセル関数 』 という。

の意味については証明中で述べる。

証明

x=a を、(★)の確定特異点とする。

y=0≦n≦∞(x−a)n+r ( ただし c≠0 ) を ( x=a まわりの ) 級数解とする。

これを ( a=0 と仮定して )、(★)に代入する。

すると、



式変形すると、



よって、r−α=0 である。( これは決定方程式である )

よって、r=±α である。

一方、((r+1)−α)c=0 である。

よって、c=0 である。

また、((n+r)−α)c+cn−2=0 である。

よって、c=c=c=・・・=0 である。

また、



ここで、次のようにおく。



よく知られているように、Γ(x+1)=xΓ(x) である。

よって、



同様の議論を r=−α に対して行い、J−α(x) を得る。

いま、αは整数ではない。

つまり、



よって、Jα と J−α は1次独立である。

よって、Jα と J−α は基本解である。

参考 ( 1/Γ(−n)=0 )

Γ(x) をガンマ関数とする。

このとき、1/Γ(−n)=0 ( n∈ ) である。

証明

よく知られているように、Γ(x+1)=xΓ(x)である。

よって、

参考 ( ノイマン関数 )

上の定理ではαが整数でない場合について考えた。

では、αが整数である場合はどうなのだろう?

N≧0 を非負整数とする。

いま、





よく知られているように、非負整数 n に対してΓ(n+1)=n!である。

k>n−1 とすると、Γ(−n+k+1)=(k−n)!である。

k<n−2 とすると、1/Γ(−n+k+1)=0 である。(※参考:1/Γ(−n)=0)

よって、



つまり、J(x) と J−n(x) は1次独立ではない。

よって、上の定理の方法ではベッセル微分方程式の解は分からない。

そこで、別の方法を考える。

α をベッセル微分方程式の解とする。

つまり、xα’’(x)+xJα’(x)+(x−α)Jα(x)=0 である。(★)

ここで、Jα をαの関数と見なしてαで偏微分する。

α(x) をαで偏微分したものを fα(x) と表す。

−α(x) をαで偏微分したものを gα(x) と表す。

(★)をαで偏微分して、α=n とする。

すると、x’’(x)+xf’(x)+(x−n)f(x)−2nJ(x)=0 である。

同様に、x’’(x)+xg’(x)+(x−n)g(x)−2nJ−n(x)=0 である。

一方、J=(−1)−n である。

よって、f=(−1) はベッセル微分方程式の解である。

そこで、N(x)=π−1(f(x)−(−1)(x)) とおく。

これを 『 ノイマン関数 』 という。