「確率流れ+井戸型ポテンシャル」→障壁散乱(S行列)→トンネル効果

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参考

障壁散乱(透過率、反射率、トンネル効果)は S 行列によって記述できる。

詳しくは以下で議論する。

定義 ( 電荷密度 )

時刻 t に位置 r を中心とする微小体積 ΔV の領域にある電気量を ρ(r、t)ΔV と表す。

このとき、ρ(r、t) を 『 電荷密度 』 という。

定義 ( 電流密度 )

x 軸方向に単位面積を単位時間に通過する電気量を j(r、t) と表す。

同様に、y 軸方向に相当する電気量を j(r、t) と表し、z 軸方向に相当する電気量を j(r、t) と表す。

このとき、j(r、t)=(j、j、j) を 『 電流密度 』 という。

P1 ( 電荷保存則 )

ρを電荷密度とする。

j=(j、j、j) を電流密度とする。

このとき、

補足

物理量の密度と流量の関係を 『 連続の方程式 』 という。

証明

下図のような単位体積の直方体を考える。



この領域中で電気量の単位時間の増加量は、



x 軸方向に面 ABCD を通過して単位時間に流入する電気量を j(x、y、z、t)dydz と表す。

x 軸方向に面 EFGH を通過して単位時間に流出する電気量を j(x+dx、y、z、t)dydz と表す。

よって、x 軸方向に垂直な面を通過して単位時間に流入する電気量の正味は、



よって、直方体に単位時間に流入する電気量は、



よって、(*1)と(*2)より、∂ρ/∂t=−divj である。

P2 ( 補題 )

次が成り立つ。

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

(1)と同様である。

定義 ( 確率流量 )

ψを波動関数とする。

次のように定義する。



このとき、j を 『 確率流量 』 という。

P3 ( 確率保存則 )

ψを波動関数とする。

を確率流量とする。

このとき、

補足

むろん、これは連続の方程式である。

確率解釈より、|ψ| は確率密度を意味することに注意。

証明

シュレディンガ方程式は、



領域内の粒子の存在確率の増加率は、次のように計算される。(※P2)



よって、

P4 ( 流れの連続性 )

下図のように、2つの面 S、S、外壁に囲まれる閉じた面を考える。



これを導線の一部と見なすと、S と S は導線の断面を意味する。

断面 S の位置を x とし、断面 S の位置を x とする。

いま、電子は S と S を通過するが、導線の外に流出することはない。

ここで、導線は定常状態であるとする。

j を電流密度とする。

このとき、j(x)=j(x) である。

補足

上では電子について書いたが、同様のことは粒子の存在確率に対しても成り立つ。

実際、以下の証明で用いられる電荷保存則の代わりに確率保存則を用いて同様に議論できる。

補足

むろん、j(x)=j(x) は、I(x)=I(x) を意味する。

ただし、I は電流である。

I(x)=I(x) を 『 キルヒホフの第1法則 』 という。

証明

いま、導線は定常状態である。

つまり、∂ρ/∂t=0 である。

よって、divj=0 である。(※P1)(★1)

ここで、S と S と外壁で囲まれた閉曲面を S と表す。

を、閉曲面 S での j の外向き法線成分とする。

いま、(★1)より、∫dS=∫divjdr=0 である。(※ガウスの定理)(★2)

一方、電流は断面 S と S を通過する。

よって、∫dS=∫j(x、y、z)dydz−∫j(x、y、z)dydz である。(★3)

よって、(★2)、(★3)より、∫j(x、y、z)dydz=∫j(x、y、z)dydz である。

P5 ( 有限井戸型ポテンシャル )

次のポテンシャルを考える。



このとき、シュレディンガ方程式の一般解は、



むろん、(1)と(2)を次のように表すこともできる。

補足

ただし、k、k’、κ>0 である。

(1)の証明

いま、



つまり、



明らかに、ψ=exp(±ikx) は上式の解である。

よって、一般解は、ψ=Aexp(ikx)+Bexp(−ikx) である。

(2)の証明

いま、



つまり、



明らかに、ψ=exp(±κx) は上式の解である。

よって、一般解は、ψ=Aexp(κx)+Bexp(−κx) である。

(3)の証明

いま、



つまり、



明らかに、ψ=exp(±ik’x) は上式の解である。

よって、一般解は、ψ=Aexp(ik’x)+Bexp(−ik’x) である。

P6 ( 箱型ポテンシャル )

次のようなポテンシャルを考える。



このとき、

(1)の証明

いま、



つまり、



明らかに、exp(±ikx) は上式の解である。

よって、一般解は、φ(x)=Aexp(ikx)+Bexp(−ikx) である。

(2)の証明

いま、



つまり、



明らかに、φ(x)=exp(±κx) は上式の解である。

よって、一般解は、φ(x)=Aexp(κx)+Bexp(−κx) である。

P7 ( 転送行列、S行列 )

ポテンシャル V(x) は有界区間 [a、b] を除いて 0 であるとする。

いま、波動関数は次のように表される。(※P5)



φ(a)=φ’(a)=0、φ(b)=φ’(b)=0 を境界条件とする。

このとき、



ただし、





確率流れ j (x>a)、j (x<a) に対して次が成り立つ。( 確率流れの向きは x 軸方向を正とする )



とくに、定常状態では次が成り立つ。



ただし、S は、S の転置行列の複素共役を意味する。

つまり、(6)は S がユニタリ行列であることを意味する。

補足

T を 『 転送行列 』 という。

S を 『 S行列 』 と呼ぶことにする。

補足

t を 『 左から入射波に対する透過振幅 』 という。

r を 『 左から入射波に対する反射振幅 』 という。

t’ を 『 右から入射波に対する透過振幅 』 という。

r’ を 『 右から入射波に対する反射振幅 』 という。

例えば、C=1、D=0 とすると、C=t、D=r である。

つまり、t と r は左から振幅1の入射があったときの透過波と反射波の振幅を意味する。

補足

|r|=|D は反射して左に進む確率を意味する。

|t|=|C は透過して右に進む確率を意味する。

そこで、|r| を 『 反射率 』 といい、|t| を 『 透過率 』 という。

(1)〜(3)の証明

いま、次が成り立つ。(※境界条件)

(*1) C+D=Aφ(a)+Bφ(a)

(*2) ik(C−D)=Aφ’(a)+Bφ’(a)

(*3) C+D=Aφ(b)+Bφ(b)

(*4) ik(C−D)=Aφ’(b)+Bφ’(b)

以上を行列で表すと、(1)と(2)を得る。

また、(1)と(2)より、(3)を得る。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、(3)より、

(*5) C=T11+T12

(*6) D=T21+T22

とくに、(*5)を式変形すると、



この(**1)を(*5)に代入すると、



(**1)と(**2)より、

(4)の証明

次のように計算できる。(※定義:確率の流量)

(5)の証明

次のように計算できる。(※定義:確率の流量)

(6)の証明

定常状態では、左右の確率の流れは等しい。

よって、(4)と(5)より、|C−|D=|C−|D である。(★)

いま、(4)より、



よって、(*)によって(★)から C と D を消去すると、



よって、|t|+|r|=1、|t’|+|r’|=1、tr’+rt’=0、tr’+rt’=0 である。

よって、

P8 ( トンネル効果 )

次のようなポテンシャルを考える。



いま、シュレディンガ方程式の一般解は次のように表される。(※P6)



このとき、

補足

これにより、透過振幅 t、反射振幅 r を計算できる。(※P7)

証明

P7 の a<x<b を 0<x<a に置き換えればよい。

つまり、a を 0 に置き換え、b を a に置き換えればよい。